Qator yaqinlashishining zaruriy shartdan foydalanib va Teylor formulasi yordamida limitlarni hisoblash Lokal limit teorema

Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi. Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x₀ nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi.
Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra, agar y=f(x) funksiya x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini  ya’ni

ko‘rinishda yozish mumkin.

Boshqacha aytganda x₀ nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali

ko‘phad mavjud bo‘lib, da bo‘ladi. Shuningdek, bu ko‘phad shartlarni ham qanoatlantiradi.

Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar nuqtaning biror atrofida aniqlangan funksiya shu nuqtada hosilalarga ega bo‘lsa, u holda

shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo‘lmagan ko‘phad mavjudmi?

Bunday ko‘phadni

ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan koeffitsientlarni topishda

shartlardan foydalanamiz. Avval P_n(x) ko‘phadning hosilalarini topamiz:
Yuqorida olingan tengliklar va (3) tenglikning har ikkala tomoniga x o‘rniga x₀ ni qo‘yib barcha koeffitsientlar qiymatlarini topamiz:
Bulardan hosil qilamiz. Topilgan natijalarni (3) qo‘yamiz va
ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad Teylor ko‘phadi deb ataladi.
Teylor ko‘phadi (2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko‘phadi ayirmasini orqali belgilaymiz: . (4) shartlardan bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi ya’ni ekanligini ko‘rsatamiz. Agar bo‘lsa, ifodaning ko‘rinishdagi aniqmaslik ekanligini ko‘rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda, demak da o‘rinli ekan.
TEYLOR FORMULASI VA UNING TURLI MATEMATIK MASALALARGA QO'LLANILISHI
Annotasiya: Ushbu maqolada Teylor formulasini matematik masalalarni yechishdagi ahamiyati: elementar funksiyalarni qatorlarga yoyilmasi va uning tabiatini o 'rganish, limitlarni hisoblashda,funksiyani ma 'lum bir qiymatida taqribiy qiymatini topish,integral ostida elementar funksiyalar bilan bog'lab bo'lmaydigan integralni hisoblash,differensial tenglamalarni qatorlar yordamida yechish kabi masalalar o'rganilgan.
Kalit so'zlar: Qatorlar, elementar funksiyalar, limit, funksiya qiymati, integral, tenglama, Makloren formulasi, Nyuton formulasi
Ingliz matematigi Bruk Teylor matematika faniga o'zining juda ko'p ilmiy ishlari bilan katta xissa qo'shgan olimlardan biridir. Uning matematika tarixida buyuk kashfiyotlaridan biri, o'zining 29 yoshida, ya'ni 1715 - yilda yaratgan nazariyasi
B. Teylorning bu kashfiyoti "Methodus incrementorumdirecta et inversa" deb nomlanib, lotin tilida 1715 - yili yozildi. I. Nyuton va G. Leybnits Teylor zamondoshlari bo'lib, ular differensial va integral hisob asoschilari hisoblaydi. Teylor mana shu differensial va integral hisob asosida o'zining kashfiyotini amalga oshirdi.
1. Funksiya limitini hisoblash.
Matematik tahlil fanida limitlarni hisoblashning turli usullari mavjud bo'lib , ular bir-biri bilan o'ziga xosligi bilan ajralib turadi.
Aytaylik bizga lim.,
/(X)
5 00
limit berilgan bo'lib, lim^- f(x) = 0,
lim^^ g(x) = 0 bo'lsin. Biz f(x) va g(x) funksiyalarni x = x0 nuqta atrofída qatorga yoyib olamiz:
U holda
agar
Boshqa ko'rinishdagi aniqmasliklarni ochishda ham shu usulni qo'llash mumkin.
2. Nyuton formulasi va uning Teylor formulasi bilan aloqadorligi.
bu yerda
fl _ m(m-lXm-2].....(m-n+l](m-nQ %n+1 ^ + 0X^m-n-1
Cn+l)!
Agar meN bo'lsa, u holda (n+1) -chi tartibli xosilalardan boshlab keyingi hadlar nolga teng bo'ladi, ya'ni Nyuton binomini hosil qilamiz:
(l + x)m=l+mx+:
m(m— 1) 2
21
+xz+...+xn, fln=0.
Demak, Nyuton binomi formulasi Teylor formulasining xususiy xoli ekan.
3. F(x,y)=0 tenglamani yechishga tadbiqi.
Bizga F(x,y)=0 ko'rinishdagi oshkormas funksiya berilgan bo'lsin. Agar bu tenglamadan y yoki x o'zgaruvchini topish imkoni bo'lsa masala xal bo'lgan bo'ladi, aksincha o'zgaruvchilarga nisbatan yechish imkoni bo'lmasa, uni yechish uchun Teylor formulasidan foydalanamiz. x0 = 0 dagi Teylor formulasini olaylik:
Buni F(x, y) = 0 tenglamaga olib borib, F(x, a0 + axx + a2x2 + ■■ ■ ) = 0 algebraik tenglamaga kelamiz. Noma'lum koeffisientlar usulidan foydalanib, a0,alra2t koeffisientlarni topamiz va F(x,y) = 0 tenglamaning dastlabki taxminiy yechimini hosil qilamiz. Koefisientlarning ko'proq topilishi yechimning aniqligini oshirishga olib keladi.
Misol. xy — ex + ey = 0 tenglamani yeching.
Yechish: y = a0 H- a1x+ a2x2 H- ni tenglamaga qo'yamiz:
Scientific Journal Impact Factor
yoki
(-1 +a1)x + (a1-^ + aljx2 + [a2 Noma'lum koeffisientlar usuliga ko'ra:
1 1 A 3
— + a2+a1az +—aljx3 + ■■
= 0
Bu sistemadan , a± = 1, a2 = -l,a3 = 2,... larni topib, y = x — x2 + 2x3 + yechimni hosil qilamiz.
4. f"00 = f(x)dx ni hisoblashga tadbiqi.
Agar f(x) funksiyaga boshlang'ich funksiya topish mumkin bo'lsa, masala hal, aksincha bo'lsa, Teylor formulasidan foydalanishga to'g'ri keladi.
Misol. / ^^ dx ni toping.
Yechish. Ma'lumki,X*
Bu integral o'ziga xos nomga ega bo'lib, u integral sinus deyiladi. Integral sinus nazariy fizikaning ayrim bo'limlarini o'rganishda uchraydi. 5. F(x,y,y', ...,y(:n}) = 0 differensial tenglamani yechishga tadbiqi. Bizga F(x,y,yT, ...jy^1) = 0 differensial tenglama berilgan bo'lsin. Uning xususiy yechimini topish uchun boshlang'ich shartlar berilgan bo'lishi kerak. Shu shartlarga asosan x = x0 nuqtaatrofida y = a0 + (x — x0) + a2(x — x0)2 -+-
funksiyani ko'raylik. Uni ketma-ket n marta differensiallab, ularni tenglamaga qo'yamiz. Boshlang'ich shartlarga asosan, noma'lum koeffisientlarni topib, yechimni hosil qilamiz.
Misol. y" - xy = 0,y\x=o = 0, y'Uo = 1 tenglamani yeching.y
Yechish. x = xc
a0 + axx + a2x2 + —I- anxn -+ ■■■
ekanligini e'tiborga olib,
ko'rinishdagi yechimni olishimiz kerak. Noma'lum koeffisientlarni boshlang'ich shartlardan topamiz: a0 = y\x=0 = 0, a1 = y'l^o = 1. Ikki marta
differensiallab
Scientific Journal Impact Factor
Uni tenglamaga qo'yamiz:
2a2 -+ 3 ■ 2a3x + —I-n(n — 1 )anx'n~2 -+ ■■■ = x2 + a2x2 + —I- an_3x'n~2 +
va x ning bir xil darajalari oldidagi koeffisientlarni tenglab, a2 = 0,a3 = 0,... , n(n— = an_3 ekanligini ko'ramiz.
va
umumann(n— l)an = an_2,a2m_1 = a2m = 0 , a3m+1 =
3-4 -6 -7.. .3m£3m+ 1]
Demak , berilgan differensial tenglamaning yechimi quyidagi ko'rinishda bo'ladi:1 -ïm+l
V = X 4——- x ^ -|---— x ^ ■+■ ■ ■ ■ H--
J 3-4 3-4-6-7 3-4'6'7.,Jm(Îjn+l)X"
6. Funksiya qiymatini taqribiy hisoblashdagi tadbiqi. Bizga y=f(x) funksiya berilgan bo'lsin. O'zining aniqlanish sohasiga tegishli biror x0 nuqtada funksiya qiymatini hisoblash zarur bo'lsin. Bu masalani yechishga Teylor formulasi taqribiy hisoblash imkonini beradi. Buni misolda ko'rib chiqaylik. Misol. VI,004 ni 0,0001 aniqlikda hisoblang.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Yechish. V 1,004 = VI + 0,004 = (1 + 0,004)= deb olamiz. U holda (1 + x)m = 1+^x4- 13 x2 4- ■■ ■ formulaga asosan
deb olib,VXÔÔ4 = 1 + M^ + 1^(0,004)2 + ... = 1 + 0,002-
[0,004P 2! 4+
0,0001 aniqlikda bo'lishini hisobga olib, VXÖÖ4 & 1,002 natijani olamiz. Oliy matematika kursida barcha elementar funksiyalarni Teylor qatoriga yoyilmasini topish mumkin.