Q.Ə. Rüs t əmov
Download 2.87 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- hərəkəti dayanıqlı sayılır.
- Şəkil 3.
- Trivial (sıfır) həllın dayanıqlığı.
- Şəkil 4
- Şəkil 5.
- Misal 1.
- I= int( abs( (t),0,inf)
- Misal 3.
§
2. Lyapunova görə dayanıqlıq İlk dəfə dayanıqlıq haqqında ciddi riyazi anlayışı 1892-ci ildə rus alimi A.M.Lyapunov özünün «Hərəkət dayanıqlığı haqqında ümumi məsələ» əsərində təklif etmişdir. Lyapunovun irəli sürdüyü dayanıqlıq anlayışı o qədər uğurlu və ümumiləşdiricidir 14 ki, o hazırda da elm və texnikanın müxtəlif sahələrində geniş istifadə olunur. Aleksandr Muxayloviç Lyapunov (1857 -1918) Obyektin hərəkəti qabariq G oblastında aşağıdakı avtonom olmayan qeyri-xətti adi diferensial tənliklər sistemi şəklində verilir : . ) ( ,..., 2 , 1 ), ; ,..., , ( 0 0 2 1 G x t x n i t x x x f dt dx i i n i i (2) Əgər f aşkar şəkildı t-dən asılı olarsa, belə sistem qeyri- avtonom sistem adlanır. Zaman t tənliyin əmsallarına (dəyişən əmsallı və ya qeyri-stasionar tənlik) və ya tənliyə sərbəst şəkildə (qeyri-bircins tənlik) daxil ola bilər. Məsələn, ). , ( / t x f dt dx Və ya konkret . 2 ) sin( / 3 t x x t dt dx 15 Əgər f aşkar şəkildə t-dən asılı deyilsə, belə sistem avtonom sistem adlanır. Avtonom stasionar (sabit əmsallı) və sərbəst, yəni bircins tənlikdir. Məsələn, ). ( / x f dt dx Və ya konkret olaraq . 0 2 / 3 x x dt dx x i – vəziyyət ləyişənləri adlanır. 1 n E G n+1ölşülü Ekvlid fəzasında qabarıq çoxluq. 1 n E fəzasınln elementləri t və x i koordinatlarıdır. G oblastının qabariq olması şərti, birici- həllin mövcudluq və yeganilik teoreminin ödənilməsi, ikincisi- tədqiq olunan tarazlıq vəziyyətinin cəzbetmə oblastının separatrissalarla ( ayrıcı traektoriyalar) təcrid olunması deməkdir. Yəni bütün x i0 başlanğıc nöqtələri G ilə isarə olunan oblastsnda yerləşməlidir. Bu yanaşmada konkret 0 0 0 0 0 ) ( ) ( , i i i i t x t x t t başlanğıc şərtini, məsələn 0 ) 0 ( i x , ödəyən həyacanlanmamış ) ; ,..., , ( ) ( 0 20 10 t x x x t x n i i (3) və başlanğıc 0 x şərti 0 x nöqtəsinin ətrafunda yerləşn istənilən ) ; ,..., , ( ) ( 0 20 10 t x x x x t x n i i həllərinin fərqinin zaman artdıqca məhdud oblastda qalmasıdır. Lyapunov ) ; ,..., , ( ) ( 0 20 10 t x x x x t x n i i həllini həyacanlanmış (başlanğıc şərtə görə) hərəkət adlandırmışdır. Tərif. Başlanğıc şərtlərin fərqi radiusu 2 olan ) ( ) ( 0 0 t t x i i (4) sferasının (kürrəsinin) daxilində olduqda həyacanlanmış və həyacanlanmamış hərəkətlərin (həllərin) fərqi zaman artdıqca, radiusu 2 olan . . ) ( ) ( 0 t t t t x i i (5) 16 silindirinin daxilində qalırsa, həyacanlanmamış ) ; ,..., , ( ) ( 0 20 10 t x x x t x n i i hərəkəti Lyapunova görə dayanıqlı sayılır. Burada || || evkilid normasıdır (məsafə).Məsələn, n=2 ücün . 2 2 2 1 x x x Başqa sözlə, əgər istənilən 0 ədədi üçün ondan asılı olan 0 ) ( ədədi mövcud olarsa və bu halda (4) şərtindən bütün t > t 0 üçün (5) şərti ödənilərsə həcanlanmamış ) , ( t x hərəkəti dayanıqlı sayılır. Teoremin açıqlaması: 1.Elə başlanğıc şərtlər mövcud olmalıdır ki, zaman artıqca ) (t həlli məhdud cərcivədə qalsın. 2. Başlanğıc şərtin kiçik ləyişməsi həllin böyük dəyişməsinə səbəb ola bilməz. 3. Qabarıq G oblastından başlayan bütün ) (t i həlləri eyni tarazlıq nöqtəsinə və ya attraktoruna (qapalı əyri) yığıldığından zaman artdıqca bu həllər arasındakı məsafə sonsuz azalır, yəni . 0 Yaxınlaşma xəta ilə baş verərsə const ola bilər. (5) ifadəsindən göründüyü kimi həyacanlanmlş və həyacanlanmamış həllər bütün i-lər, i=1,2,...,n, ücün iki-iki müqayisə olunur. Əgər 0 ) ( ) ( lim t x t i i t olarsa, ) (t i asimptotik dayanıqlı hərəkət adlanır. Yəni obyekt tarazlıq noqtlsinə sonsuz vaxta çatır. Şəkil 3-də n=2 halı ücün tərifin həndəsi təsviri gəstərilmişdir. 17 Şəkil 3. Əgər istənilən 0 ) ( ücün hər- hansı bir ) (t x i həlli (5) bərabərsizliyini ödəmirsə, həyacanlanmamış ) (t i hərəkəti dayanıqsız hərəkət adlanır. Əgər olarsa, (2) dinamik sistemi bütövlikdə dayanıqlı sistem (xətti sistemlər) adlanır. Bu tip dayanıqlıq xətti differensial tənliklərlə yazılan sistemlər (obyektlər) ücün doğrudur. Trivial (sıfır) həllın dayanıqlığı. Avtomatik tənzimləmədə əsas önəmli məsələ tarazlıq nöqtəsinin (vəziyyətinin) dayanıqlığının təyin olunmasıdır. Sıfır tarazlıq nəqtəsi 0 ) ( t x trivial həll adlanır. Əvvəldə baxdığımız istənilən həllin dayanıqlığını trivial həllin, yəni tarazlıq nəqtəsinin dayanıqlığına gətirmək mümkündür. (1) tənliyini vektor şəklində yazaq: ), , ( t dt d x f x Burada . ) ,..., , ( , ) ,..., , ( 2 1 2 1 T n T n f f f x x x f x Qeyri xətti sistemin bir-necə tarazlıq nöqtəsi olabilər. Tarazlıq nöqtəsinin korrdinatları ) 6 ( 0 ) , ( t x f qeyri-xətti tənliklər sisteminin (stasionarlıq şərti) həllindən tapılır. 18 Xətti ) 7 ( , ) ( x x t A dt d sistem isə koordinat başlanğıcında yerləşən yeganə 0 ) ( t x tarazlıq nöqtəsinə malikdir. (6) tənliliklər sisteminin həlli nəticəsində tapılmış və bizi maraqlandıran tarazlıq nöqtəsini s x işarə edək.Yeni s x - x z dəyişəni daxil etməklə tarazlıq nöqtəsini koordinat başlanğıcına gətirmək olar. Beləliklə alınmış yeni tənlik ) 8 ( ) , ( t dt d z z həyacanlanmış hərəkət tənliyi adlanır. Aydındır ki, tarazlıq nəqtəsi 0 ) ( t s z (trivial həlli) bu tənliyin həllidir. Buna səbəb ) (t s z qiymətini (8) tənliyində yerinə yazzaq 0 ) , ( t s x olduğundan 0 dt dz olmasıdır ki, onun da həllinin 0 ) ( t z olması aşkardır. Bu halda əvvəldə həyacanlanmamış hərəkət kimi qəbul etdiyimiz həlli 0 ) ( t qəbul edib yalnız başlanğıc şərtləri 0 x olan həyacanlanmış ) (t x (gətirilmiş (8) sistemi ücün ) (t z həlli) həllərinə baxmaq olar. Gətirilmiş (8) sistemi ücün yuxarıdakı dayanıqlıq tərifinin şərtlərini aşağıdaki kimi yazmaq olar: , ) ( 0 t z i . . ) ( 0 t t t z i Xətti (7) sistemi ücün isə , ) ( 0 t x i . . ) ( 0 t t t x i Əgər bütün ) (t x i həlləri üçün n i t x i t ,..., 2 , 1 , 0 ) ( lim (9) 19 şərti ödənilərsə onda system asimptotik dayanıqlı hesab olunur. Yəni dayanıqlığı yoxlamaq üçün (7) və ya (8) tənliklər nsistemini həll edib (9) asimptotik dayanıqliq şərtini yoxlamaq lazımdır. n=2 halında dayanıqlı sistem ücün 0 radiuslu cevrədən başlayan bütün həllər 0 radiuslu silindirin daxilində qalacaqdır (şəkil 4). Şəkil 4 Dayanıqlığın növündən asılı olaraq və ya ola bilər (şəkil 5, a,b). a) b) Şəkil 5. 20 Şəkildə a)- ümumiyyətlə dayanıqlıq (məsələn, orbital və ya finit t→T dayanıqlıq), b)- asimptotik dayanıqlıq. Шякил 6-дя n=2 qiymətində trivial həll üçün faza müstəvisində кичикликдя дайаныглыьын щяндяси изащı verilmişdir. Şəkil 6. Кичикликдя дайаныглыьын faza müstəvisində щяндяси тясвири Шякилдя, 1 – дайаныглы, 2 – дайаныгсыз, 3 – орбитал дайаныглы системин фаза трайекторийалары х(т) göstərilmişdir. Misal 1. Obyekt xətti qeyri-bircins tənlik ilə yazılır: . 1 x t dt dx 0 ) 0 ( x başlanğıc şərtini ödəyən ) (t x həllinin dayanıqlığini yoxlamaq lazımdır. Bu tənliyin ümumi həlli . ) ( t Ce t x t Başlanğıc 0 ) 0 ( x şərtinə yyğun gələn həyacanlanmamış hərəkət: . ) ( t t 0 ) 0 ( x x başlanğıc şərtinə uyğun gələn həyacanlanmış hərəkət: . ) ( 0 t e x t x t (5) fərqini formalaşdıraq: . ) 0 ( ) ( ) ( 0 0 t t e x t t e x t t x 21 Buradan göründüyü kimi, istənilən 0 üşün elə 0 mövcuddur ki, (məsələn, ) başlanğıc qiyməti 0 0 x şərtini ödəyən istənilən ) (t x həlli üçün aşağıdakı bərəbərsizlik ödənilir: 0 . 0 ) ( ) ( 0 t e x t t x t Deməli t t ) ( həlli dayanıqlıdır. Bundan başqa, 0 0 lim ) ( ) ( lim 0 t t t e x t t x Şərti ödənildiyindən t t ) ( həlli asimptotik dayanıqlı həlldir. Bu həll t halında qeyri məhduddur.Göstərilən misal təsdiq edir ki, diferensial tənliyin həllinin dayanıqlı olmasından bu həllin məhdud olmasına dələlət etmir. f-funksiyasının qeyri- xətti olduğu halda yuxarıdakı xətti tənlik (system) üçün aparilmış araşdirmalar cox yorucu, hətta mümkün olmaya bilər. § 3. Dayan ı ql ığı n obyektin differensial t ə nliyinin h ə lli ə sas ı nda t ə yini 1. Obyektin tənliyi «giriş – çıxış» formasında verilmişdir: f m u b y a ... y a y a 0 0 n ) 1 n ( 1 ) n ( 0 . (10) Xarici təsirləri u = f =0 qəbul edib bu tənliyi sıfra bərabər olmayan y(0), ) 0 ( y ),..., 0 ( y ) 1 n ( başlanğıc şərtlərində həll etmək lazımdır. Bu halda y(t) həlli obyektin sərbəst hərəkətini xarakterizə edir. Həll üçün n k t y k t ,..., 2 , 1 , 0 ) ( lim ) 1 ( (11) şərti ödənilirsə belə obyekt asimptotik dayanıqlı obyekt hesab olunur. Yəni zaman artdıqca obyekt tarazılıq vəziyyəti olan 0 nöqtəsinə yaxınlaşır. 22 Xətti sistemlərin dayanıqlığı başlanğıc şərtdən asılı olmadığından onun seçilməsi sərbəstdir. Matlabda (10) tənliyini analitik (simvolik) həll etmək üçün dsolve(.) funksiyasından istifadə olunur. 2. Obyektin modeli ötürmə funkiyası şəklində verilmişdir: m n , a ... s a s a b ... s b s b ) s ( W n 1 n 1 n 0 m 1 m 1 m 0 . (12) Bu halda obyektin sərbəst hərəkətini xarakterizə edən (t) çəki funksiyasını almaq üçün impulse(W) funksiyasından istifadə edib (1) 0 | ) ( | dt t I şərtini yoxlamaq olar. Bu inteqral I= int(abs( (t),0,inf) funksiyasının köməyi ilə hesablanır. 3. Obyektin tənliyi vəziyyət modeli şəklində verilmişdir: dx/dt = Ax + Bu, y = Cx + Du. (13) Bu halda (t) çəki xarakteristikasını B = 0, D = 0 qiymətlərində impulse( ) funksiyasının köməyi ilə alıb I şərtini yoxlamaq olar. 3.1. Obyektin sərbəst hərəkəti xətti diferensial tənliklər sistemi şəklində verilmişdir: dx/dt = Ax, x(0) ≠ 0. (14) Bu halda x(t) = (x 1 (t), x 2 (t), …, x n (t)) T həllini tapmaq üçün lsim( ) və ya dsolve( ) funksiyasından istifadə etmək olar. Tənlik (14)-in köməyi ilə xətti sistemin tarazlıq nöqtəsinin yeganə olub x = 0 koordinat başlanğıcında yerləşməsini isbat etmək olar. Belə ki, tarazlıq nöqtəsində sürət dx/dt = 0 olduğundan Ax = 0 stansionarlıq şərti ödənilməlidir. A ≠ 0 23 olduğundan bu şərt yalnız x = 0 halında, yəni koordinat başlanğıcında ödənilir. Qeyd edək ki, tarazlıq vəziyyəti dayanıqlı, dayanıqsız və neytral ola bilər. Sistem (14)-in dayanıqlıqlı olması üçün x(t) = e At x 0 həlli aşağıdakı vector şərtini ödəməlidir: 0 x e lim ) t ( x lim 0 At t t və ya koordinat şəklində . 0 ) ( lim ,..., 0 ) ( lim , 0 ) ( lim 2 1 t x t x t x n t t t (15) Tənlik (14) həll etmək üçün dsolve( ) və ya lsim( ) funksiyalarından istifadə edib (15) şərtini limit( ) funksiyasının köməyi ilə yoxlamaq olar. Bundan başqa həllin Simulink sxemindən də istifadə edib x(t) həllini müşahidə etmək olar. Misal 2. Obyektin tənliyi “giriş-çıxış” modeli şəklində verilmişdir: u 5 y 40 y 18 y 10 . (16) Xarici təsiri u=0 qəbul edib, dayanıqlığı (11) şərtinə əsasən yoxlayaq: . 2 , 1 , 0 ) ( lim ) 1 ( k t y k t Şəkil 7-də həllin y(0) = 0.5, 1 ) 0 ( y başlanğıc şərtlərində Matlab proqramı və t=20 s. qiymətində y(t), y ' (t) qrafikləri göstərilmişdir. 24 Şəkil 7. Dayanıqlığın “giriş - çıxış” modeli əsasında təyini 0 ) ( lim t y t və 0 ) ( lim t y t şərtləri ödənildiyindən baxılan obyekt dayanıqlıdır. Obyektin dayanıqlı (rəqsi dayanıqlı) olması vizual olaraq y(t) qrafikindən aydın görünür. Misal 3. İndi (16)-ya uyğun 25 40 s 18 s 10 5 ) s ( W 2 ötürmə funksiyasından istifadə edib çəki funksiyası (t)-ni impulse( ) funksiyasının köməyi ilə alaq. Bu funksiya sıfır y(0) = 0, 0 ) 0 ( y başlanğıc şərtlərində giriş vahid impuls u=δ(t) (u=dirac(t)) olduqda alınan reaksiyanı, yəni y(t)-ni hesablayır. Şəkil 8-də MATLAB proqramı və (t) qrafiki göstərilmişdir. Şəkil 8. Dayanıqlığın cəki funksiyası əsasında təyini Göründüyü kimi, fundamental (1) 0828 . 3 dt | ) t ( | I 0 şərti ödənildiyindən obyekt dayanıqlıdır. Dayanıqlıq (t)-nin qrafikindən də aydın görünür. Misal 4. Obyektin sərbəst hərəkəti: . x 6 x 2 x 4 x , x 7 x 6 . 0 x x , x 2 x x 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 Bu halda 26 6 2 4 7 6 . 0 1 2 1 0 A . x(t) həllini x(0) = (0,0.5,1) T başlanğıc şərtlərində lism( ) funksiyasının köməyi ilə alaq. Şəkil 9-da Matlab proqramı və x i (t) həllinin qrafikləri göstə- rilmişdir. Şəkil 9. Tənliklər sistemi şəklində verilmiş obyektin dayanıqlığının təyini Qrafikdən göründüyü kimi bütün həllər sıfra yaxınlaşdığından obyekt dayanıqlıdır. Yuxarıda baxılan üsuldan istifadə etmək üçün obyektin differensial tənliyini analitik və ya ədədi üsul ilə həll etmək tələb olunur. |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling