Qo’lyozma huquqida

Interpolyatsion  kubatur  formulalar. 

       Integral    ostidagi    funksiyani    2    o’lchovli    interpolyatsion    ko’phad    bilan  

almashtiramiz 

       Agar  





,

i

L

x y

  ko’phadlarni  quyidagicha   

 

54 

                                  





1,

,

,

,

1,

0,

,

i

j

j

a g a r

i

j

L

x

y

i j

N

a g a r

i

j















 

aniqlab  olsak,  u  holda 

                                













1

,

,

,

N

i

i

i

i

L x y

f

x

y

L

x y







                            ( 2.25)      

ko’phad  





,

j

j

x

y

  nuqtada  





,

j

j

f

x

y

  qiymatni  qabul  qiladi.  Integral  ostidagi  

funksiyani  (2.25)  bilan  almashtiramiz: 

                      













1

,

,

,

N

i

i

i

i

f

x y dxdy

L x y dxdy

A

f

x

y













 

 

, 

Bu  yerda   





,

i

i

A

L

x y dxdy





 

  

bo’lib,  uni  murakkab  bo’lmagan  sohalar  uchun  hisoblash  qiyin  emas. 

     Faraz  qilaylik,   



  soha  to’g’ri  to’rtburchak  bo’lsin:   





,

a

x

b

c

y

d

 





.  

Integrallash  to’ri  sifatida   

           





,

0,

;

0,

,

,

i

j

b

a

d

c

x

a

ih

y

c

jk

i

m

j

n

h

k

m

n









 









 

to’g’ri  chiziqlarning  kesishishlaridan  hosil  bo’lgan  nuqtalar  to’plamini  olamiz,  

u  holda  quyidagi  interpolyatsion  formulaga  ega  bo’lamiz: 

              









,

0

0

0

0

,

m

n

m

n

t

s

i

j

i

j

t

s

i

t

j

s

t i

s

j

x

x

y

y

f

x y

f

x y

x

x

y

y























 





  . 

    Buni  to’g;ri  to’rtburchak  bo’ylab  integrallasak, 

                             









0

0

,

,

b d

m

n

ij

i

j

i

j

a c

f

x y dxdy

A f

x

y







 

 

 

hosil  bo’ladi,  bu  yerda 

                                         

0

0

b

d

m

n

t

s

ij

t

s

i

t

j

s

a

c

t i

s

j

x

x

y

y

A

dx

dy

x

x

y

y



























   

yoki  



 



,

1

,

1

ij

i m

j n

A

b

a

d

c I

I













 

 

55 

o’rinishda    yozish    mumkin,   

,

1

i m

I



    va   

,

1

j n

I



    lar    esa    Nyuton-Kotes  

formulasining  koeffitsiyentlaridir. 

R1



T



R1

Z

T





T

I

P





P

f x

0

y

0







f x

2

y

0









f x

0

y

2









f x

2

y

2









4

f x

1

y

0







f x

0

y

1









f x

2

y

1









f x

1

y

2















16

f x

1

y

1



















R1 xatoligi

I

h

k



9



T Simpson formulasining kubatur 

formulada chiqargan natijasi

k

d

c



(

)

2



h

b

a



(

)

2



Z dastur chiqargan natija

Z



y

2

d



y

1

c

d



(

)

2



y

0

c



Z

4

5

y

0

1

x

f x y



(

)







d







d



x

2

b



x

1

a

b



(

)

2



x

0

a



f x y



(

)

1

x

y



(

)

2



d

1



c

0



b

5



a

4



Kubatur formulanini Simpson form ulasi orqali hisoblash 

 

2-bob bo’yicha qisqacha xulosa 

Dissertasiyani  ikkinchi  bobida  interpolyatsion  kubatur    formulalar  kurib 

chiqilgan,  ularni  xatoliklari  tahlil  qilinib,  effektivligi  ko’rib  chiqilgan  va 

interpolyatsion  kubatur  formular  uchun  algoritm  va  dastur  tuzilib  misollarda 

qo’llanilgan. 

 

56 

III. BOB. SOBOLEV FAZOSIDA DAVRIY BO'LMAGAN FUNKSIYALAR 

UCHUN OPTIMAL INTERPOLYATSION FORMULALAR QURISH. 

3.1. Sobolev fazosi va unda kubatur formulalar 

Oxirgi  vaqtlarda  integrallarni  taqribiy  hisoblash  uchun  kubatur  formulalar 

qurishda  sfera  sirtida,  sferik  garmonikalar  nazariyasidan  foydalaniladi.  Bunda 

integral  ostidagi  funksiya  sferik  garmonikalar  bo’yicha  qatorlarga  yoyiladi.  Bu 

bobda  esa  asosan oddiy  va  vaznli kubatur  formulalarni  qarab  chiqamiz.  Quyidagi 

oddiy kubatur formulani qarab chiqamiz 

                            

 

(

)

1

(

) ,

N

S

f

d

C f





















                                                 (3.1) 

 

(

)

2

( )

m

L

S

 fazoda va uning xatolik funksionalini normasini hisoblaymiz.  

(

)

2

( )

m

L

S

 fazo berilgan bo’lsin  

1

2

1

(

,

,...,

)

|

|

n

x

x



 









. 

1

1

| |

1

1

| | 1

( )

( )

....

n

n

f

D

f

































 

1

1

1

2

1

1

2

1

1

1

(

,....,

)

,

(

,

,....,

),

|

|

....

!

!.....

!;

n

n

n

n

S

è









 









































 

Ta’rif 3.1.1.   

(

)

2

( )

m

L

S

   fazo  quyidagicha aniqlangan funksiyalar fazosi , S  birlik 

sferada  berilgan  va  m  tartibli  umumlashgan  hosilalari  kvadrati  bilan  jamlanuvchi 

funksiyalar fazosi, funksiya normasi quyidagicha kiritilgan. 

                   





( , )

2

2

2

,

1

1

||

|

( ) ||

2

n k

m

m

m

k

k

f

L

S

a

k

k

n











 

 

                                 (3.2) 

(

)

2

( )

m

L

S

 fazoda aslida Sobolev ta’rifi bo’yicha norma quyidagicha kiritilgan.  

 

 





1

2

2

2

!

!

m

m

S

m

f

L

S

D

f

d s

















 















,                                         (3.3) 

 

57 

 Shubday  qilib 

2

( )

L

S

  -  S    birlik  sferada  berilgan  va  kvadrati  bilan  jamlanuvchi 

funksiyalar fazosini bildiradi.  

Agar  funksiya 

2

( )

L

S

  fazoga  tegishli  bo'lsa 

 

2

( ),

f

L

S





    unda  uni 

ortonormallangan sferik garmonikalar bo’yicha qatorga yoyish mumkim [1] 

                             

 

 

 

( , )

,

,

1

1

1

,

n k

k

k

k

k

k

f

a

Y

Y























 



                                       

bu yerda      

 

 

,

,

k

k

S

a

f

Y

d











,  k  –  tartibli 

  ko’rinishdagi  ortonormallangan  sferik 

garmonikalar ; 



 











3 !

,

2

2

2 ! !

k

n

n k

k

n

n

k



 



 



  -  k  –  tartibli  chiziqli  bog’liq  bo’lmagan  sferik 

garmonikalar soni.  

 

2

m

L

S

  fazo  aniqlaydiki,   

 

2

( ),

f

L

S





  funksiyalar  uchun  yarim  norma 

bo’lishini [1]:  





( , )

2

2

2

,

1

1

||

|

( ) ||

2

n k

m

m

m

k

k

f

L

S

a

k

k

n











 

 

. 

2

( )

m

L

S

  fazo  elementlarining  tuzilishi  bo’yicha   

 

(

)

2

m

L

S

  S.L.Sobolev  fazosi 

bilan ustma ust tushadi [2]. 

  

  

(3.1) ko’rinishdagi kubatur formulaning xatolik funksionali quyidagicha bo’ladi. 

 

(

)

1

( )

( )

(

)

N

N

S

C









 

  











, 

 

                                           (3.4) 

bu yerda  - Dirakning delta funksiyasi, 

( )

s

 

 - S  sohaning xarakteristik funksiyasi     

(

)

1,

( )

0,

S

x

S

x

x

S







 





 

 <



(x), f(x)>=f(0) 

 

Kubatur formulaning xatoligi deganda biz quyidagi ayirmani tushunamiz: 

 

58 

(

)

1

,

( )

(

)

( )

( )

,

n

N

N

N

S

R

f

f

d

C f

f

d



































 

(

)

1

( )

( )

(

)

N

N

S

C









 

  











 

(

)

1,

( )

0,

S

x

S

x

x

S







 





,               <



(x), f(x)>=f(0) 

(3.1) ko’rinishdagi kubatur formulaning xatoligi 

2

( )

m

L

S

 fazoda chiziqli 

funksionalni tashkil qiladi. Bundan 

(

)

2

2

,

( )

( )

m

m

n

L

S

C S





 kelib chiqadi [1]. 

  Quyidagi  teoremani  qarab  chiqamiz.  Bu  teorema  G’.N.  Salixov  tomonidan 

kiritilgan  va  isbotlangan  lekin  isboti  qisqa  keltirilgan.  Biz  uning  isbotini  to’liq 

keltiramiz  sababi  keyingi  olinadigan  asosiy  natijalarda  ham  biz  undan 

foydalanamiz. 

Teorema  3.1.1.  (3.1)  ko’rinishdagi  kubatur  formulaning  xatolik 

funksionalini normasi 

 

2

m

L

S

 fazoda quyidagiga teng 

 

 













1

2

2

(

)

,

,

*

1

2

1

1

2

N

k

n k

m

N

m

m

k

C Y

L

S

k

k

n











































 



 















 

.                                      (3.5) 

  

Isboti.  Ma’lumki agar funksiymiz   

 

 

2

m

f

L

S





 ga tegishli bo’lsa, unda 

quyidagi qator absolyut tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.  

 

 

0

k

k

f

Y













, 

bu  yerda   

 

k

Y



  - 

k

-  tartibli  sferik  garmonikalar,  bunda 

2m

n



  shart  bajarilishi 

yetarli. 

Shunday qilib funksiyani  

 

2

m

f

L





  sferik garmonikalar bo’yicha absolyut 

tekis yaqinlashuvchi qatorga yoysak  

 

 

 





 

,

,

,

1

1

1

n k

k

k

k

k

k

f

Y

a

Y

























 

,  

 

 

                      (3.6) 

 

59 

bu yerda 

 

,

k

Y



 - sferik garmonikalar 

k

 - tartibli   ko’rinishdagi.      

  

Xatolik funksionali (3.4) va (3.6) dan foytalanib quyidagini topamiz  

     

   

 





 

1

1

,

( )

,

N

N

s

k

k

f

C

Y











 

  











  





 





 

     

 





 

(

)

1

1

1

|

( ),

,

|

N

s

k

k

k

k

Y

C

Y







 



  













 

  



 







 

 

    





 

 









 

,

,

,

,

,

,

1

1

1

1

1

|

,

|

n k

n k

N

k

k

k

k

k

k

S

a

Y

d

C

a

Y















  



















 



 

 



 



    

 

    





 





 





 

,

,

,

,

,

,

1

1

1

1

1

,

n k

n k

N

k

k

k

k

k

k

S

a

Y

d

a

C

Y















  

























 

 

 





 

 

 





 

 

,

,

,

1

1

1

n k

N

k

k

k

a

C Y





















 



.                                                               (3.7) 

Agar  (3.7)  ni  o’ng  tomonidagi 

,

k

a

  ni   





2

2

2

m

m

k

k

n

 

  ga  ko’paytirib, 

yig’indini  shu  ko’paytuvchiga  bo’lsak  va  Koshi  tengsizligini  qo’llasak,  (3.2)  ga 

asosan quyidagini olamiz   









 

 





,

2

2

2

2

,

,

1

1

1

,

2

2

n k

m

m

N

m

m

N

k

k

k

f

a

k

k

n

C Y

k

k

n

























 

 



 











 



 





 

 





1

2

2

1

,

( , )

( , )

2

2

1

,

1

1

1

1

2

2

N

k

n k

n k

m

m

k

m

m

k

k

C Y

a

k

k

n

k

k

n

























































 













 



















 

 

 

 

 

 









1

2

2

,

,

1

2

1

1

2

N

k

n k

m

m

m

k

C Y

f

L

S

k

k

n













































 



 















 

. 

                                           (3.8) 

 

60 

(3.8) dan quyidagi kelib chiqadi 

 

 

 

 









1

2

2

,

,

1

2

1

1

2

N

k

n k

m

N

m

m

k

C Y

L

S

k

k

n













































 



 















 

. 

 

 

            (3.9) 

Quyidagi funksiyani qarab chiqamiz 

 

 

 





,

,

,

1

1

n k

k

k

k

U

b Y















 

, 

 

                                (3.10) 

bunda  

 









(

)

,

1

,

2

N

k

k

m

m

C Y

b

k

n

k













 



. 

                                                 (3.11) 

Sferik funksiyalar uchun quyidagi baho o’rinli [1] 

max  

 

 

 

 

1

2

2

n

m

m

k

Y

C n k

f

L

S





  



, 

(3.11) dan kelib chiqadiki (3.10) ning koeffisiyetlari 

 

 

2

m

U

L

S





 

Bu  funksiya  uchun  (3.8)  kubatur  formula  xatoligini  hisoblasak  quyidagi 

tenklikni olamiz: 

 





 

 









 

,

,

1

,

1

1

1

,

( )

,

2

N

n k

k

N

N

s

k

m

m

k

C Y

U

C

Y

k

k

n

















 

  















  





 

 





 

    

 

 









 

 





 

,

,

1

,

,

1

1

1

( ),

,

2

N

n k

k

N

s

k

k

m

m

k

C Y

Y

C

Y

k

k

n

















 



  



















 

 





 





 







 



 

 

 









 

 

 

,

,

1

,

,

1

1

1

2

N

n k

k

N

k

k

m

m

k

S

C Y

Y

d

C Y

k

k

n

















































 







 





 

 

61 

 

 









 

2

,

,

2

1

2

1

1

2

N

k

n k

m

m

m

k

C Y

U L

S

k

k

n



































 



 

.  

 

 

           (3.12) 

(3.9) va  (3.11) dan quyidagi kelib chiqadi. 

 

 

 

2

2

m

m

N

L

S

U L

S





, 

 

 

bu  yerda   

 

U



  funksiya  (3.1)  ko’rinishdagi  kubatur  formula  uchun  ekstremal 

funksiya bo’ladi. Bu teoremaga asosan (3.1) ko’rinishdagi kubatur formula xatolik 

funksionali 

uchun 

 

2

m

L

S

 

fazoda 

quyidagi 

baho 

o’rinli 

bo’ladi:

 

   

 

 





 

 





1

2

2

1

,

,

,

2

1

2

,

1

1

1

1

,

2

.

2

N

k

n k

n k

m

m

N

k

m

m

k

k

C Y

f

a k

k

n

k

k

n





























































 



 



 



 



















 

 