Qo‘shma operatorlar

15.1-teorema. Agar bo‘lsa, u holda va

tenglik o‘rinli.
Isbot. Funksional hamda operator normasining xossalariga ko‘ra,

Bu yerdan

tengsizlikka ega bo‘lamiz. Demak,
(15.4)
Endi shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy element bo‘lsin, deymiz. Ko‘rinib turibdiki, Xan-Banax teoremasining 12.1-natijasiga ko‘ra, shunday funksional mavjudki, va ya’ni

Bu yerdan,

tenglikka ega bo‘lamiz. U holda

munosabatdan
(15.5)
tengsizlikni olamiz. (15.4) va (15.5) munosabatlardan

tenglik kelib chiqadi.


15.2. Hilbert fazosida qo‘shma operatorlar
Ma’lumki, Hilbert fazosiga qo‘shma fazo uning o‘ziga izomorf, ya’ni (tenglik izomorfizm ma’nosida). Shuning uchun Hilbert fazolarida qo‘shma operatorlar xossalarini o‘rganish ancha qulay.
15.2-ta’rif. Hilbert fazosi va operator berilgan bo‘lsin. Agar biror operator va ixtiyoriy lar uchun

tenglik o‘rinli bo‘lsa, operator ga qo‘shma operator deyiladi.
Bu ta’rif Banax fazosidagi qo‘shma operatorning ta’rifidan biroz farq qiladi, ya’ni bu yerda (3-xossaga qarang) tenglik o‘rinli.
Hilbert fazosi holida va operatorlar aynan bitta fazoda aniqlangani uchun, ba’zan tenglik ham o‘rinli bo‘lishi mumkin.
15.3-ta’rif. Agar bo‘lsa, ya’ni ixtiyoriy uchun

tenglik o‘rinli bo‘lsa, operator o‘z-o‘ziga qo‘shma operator deyiladi.
15.4-ta’rif. Bizga chiziqli operator va qism fazo berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy uchun bo‘lsa, u holda qism fazo operatorga nisbatan invariant qism fazo deyiladi.
15.1-lemma. Bizga chiziqli operator va qism fazo berilgan bo‘lsin. Agar qism fazo operatorga nisbatan invariant bo‘lsa, u holda uning ortogonal to‘ldiruvchisi bo‘lgan qism fazo operatorga nisbatan invariant bo‘ladi.
Isbot. Haqiqatan ham, agar bo‘lsa, u holda ixtiyoriy uchun

chunki Demak,
Xususiy holda, agar bo‘lsa, u holda ekanligidan ekanligi kelib chiqadi.
Hilbert fazosida qo‘shma operatorlar quyidagi xossalarga ega: