Qozogiston respublikasi ta’lim va fan vazirligi shimoliy Qozog'iston davlat universiteti

1.3 Teylor seriyasi. Maklaurin seriyasi

Nuqta qo'shnisida cheksiz differentsiallanuvchi funksiya bo'lsin , ya'ni. har qanday tartibdagi hosilalarga ega. Funktsiyaning bir nuqtadagi Teylor qatori darajalar qatori deyiladi

(1.8)

ning alohida holatida (1.8) qator Maklaurin seriyasi deb ataladi:

(1.9)

nuqta qo'shnisida cheksiz marta differensiallangan funksiya uchun Teylor qatori funksiya bilan mos keladi ?

Funksiyaning Teylor qatori yaqinlashadigan holatlar mavjud, lekin uning yig'indisi ga teng emas
shu funksiyaga yaqinlashishi uchun yetarli shart beraylik .
1.4 teorema: agar funktsiya oraliqda istalgan tartibli hosilalarga ega bo'lsa va ularning barchasi mutlaq qiymatda bir xil son bilan cheklangan bo'lsa, ya'ni. u holda bu funksiyaning Teylor qatori shu intervalning har qandayiga yaqinlashadi , ya'ni. tenglik mavjud

oxirida ushbu tenglikning bajarilishini aniqlashtirish uchun alohida tadqiqotlar talab qilinadi.

Shuni ta'kidlash kerakki, agar funktsiya darajali qatorda kengaytirilsa, u holda bu seriya ushbu funktsiyaning Teylor (Maklaurin) qatoridir va bu kengayish o'ziga xosdir [7].

1.4 Differensial tenglamalar

Argument funksiyasi uchun n- tartibli oddiy differensial tenglama ko‘rinishdagi munosabatdir.

(1.10)

bu yerda uning argumentlarining berilgan funksiyasi.

Matematik tenglamalarning ushbu sinfi nomida “differensial” atamasi ularning hosilalarni (differensiallanish natijasida hosil bo'lgan funksiyalarni) o'z ichiga olishini ta'kidlaydi; atamasi - "oddiy" kerakli funktsiya faqat bitta haqiqiy argumentga bog'liqligini aytadi.
kerakli funksiya va uning hosilalarining argumenti aniq bo‘lmasligi mumkin , lekin eng yuqori hosila n- darajali tenglamaga kiritilishi kerak [8].
Masalan,
A) - birinchi tartibli tenglama;
B) uchinchi tartibli tenglama.
Oddiy differentsial tenglamalarni yozishda ko'pincha differensiallar orqali hosilalarni belgilash qo'llaniladi:
C) - ikkinchi tartibli tenglama;
D) - birinchi tartibli tenglama, u tenglama o'rnatishning ekvivalent shakliga bo'lingandan keyin:
Funktsiya oddiy differensial tenglamaning yechimi deyiladi, agar unga almashtirilganda u bir xillikka aylansa.
U yoki bu usul bilan topish, masalan, tanlash, tenglamani qanoatlantiradigan funksiya uni yechish degani emas. Oddiy differensial tenglamani yechish deganda tenglamaga almashtirilganda bir xillikni tashkil etuvchi barcha funksiyalarni topish tushuniladi . (1.10) tenglama uchun bunday funktsiyalar oilasi ixtiyoriy konstantalar yordamida tuziladi va n-darajali oddiy differentsial tenglamaning umumiy yechimi deb ataladi va doimiylar soni tenglama tartibiga to'g'ri keladi : Bunday holda, yechim odatda (1.10) tenglamaning umumiy integrali deb ataladi.
Umumiy yechimda yoki umumiy integralda barcha ixtiyoriy konstantalar uchun ba'zi ruxsat etilgan qiymatlarni o'rnatish orqali biz endi ixtiyoriy doimiylarni o'z ichiga olmaydigan ma'lum bir funktsiyani olamiz. Bu funksiya (1.10) tenglamaning alohida yechimi yoki alohida integrali deyiladi. Ixtiyoriy konstantalarning qiymatlarini va shuning uchun aniq echimni topish uchun (1.10) tenglamaga turli xil qo'shimcha shartlar qo'llaniladi. Misol uchun, dastlabki shartlar deb ataladi :


(1.11)

Dastlabki shartlarning o'ng tomonida (1.11) funktsiya va hosilalarning raqamli qiymatlari berilgan va boshlang'ich shartlarning umumiy soni aniqlanayotgan ixtiyoriy doimiylar soniga teng.

Dastlabki shartlardan (1.10) tenglamaning muayyan yechimini topish masalasi Koshi masalasi deb ataladi [9].