Рабочая программа по дисциплине б. 13 Численные методы

5.4. Задания для самостоятельной работы


Задание 1. Графически отделить все корни уравнения F(x)= 0 и методом дихотомии уточнить меньший положительный корень с точностью  =10^–4. Среду реализации (Pascal ABC или Mathcad) выбрать по указанию преподавателя. Определить необходимое число итераций.

№ варианта	F(x)=0	№ варианта	F(x)=0
1.		9.
2.		10.
3.		11.
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.		16.

Задание 2. Графически отделить все корни уравнения F(x)= 0 и методом хорд уточнить меньший положительный с заданной точностью . Среду реализации (Pascal ABC или Mathcad) выбрать по указанию преподавателя. Определить необходимое число итераций.

№	F(x)=0	№	F(x)=0
1.		9.
2.		10.
3.		11.
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.		16.

Задание 3. Графически отделить все корни уравнения F(x)= 0 и методом Ньютона уточнить меньший положительный с точностью  =10^{– 5}. Среду реализации (Pascal ABC или Mathcad) выбрать по указанию преподавателя. Определить необходимое число итераций.

№ варианта	F(x)=0	№ варианта	F(x)=0
1.		9.
2.		10.
3.		11.
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.		16.

Задание 4. Методом производных отделить корни уравнение F(x)= 0 и комбинированным методом уточнить их с точностью  =10^{– 4} . Определить необходимое число итераций. Проверить полученное решение с помощью встроенной функции Mathcad polyroots.

№ варианта	F(x)=0	№ варианта	F(x)=0
1.		9.
2.		10.
3.		11.
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.		16.

Задание 5. Решить предлагаемую задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера и Рунге-Кутта, где и шаг . Полученное численное решение сравнить с точным решением , приведенным в вариантах задания.

№	Диф. уравнение	Нач. условие		Точное решение
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Задание. Найти решение u(х, t) для уравнения теплопроводности:

с начальными условиями u(x, 0) = φ(х), 0 ≤ x ≤ L ,

граничными условиями u(0, t) = α, u(L, t) = β.

№ варианта	f(x)	α	β	№ варианта	f(x)	α	β
1	x( x - 1 )	0	0	9	( x ^2 + 0.5)cos(2 π x)	0.5	1.5
2	x ^3 + x ^2 - x	0	1	10	sin( π x ) cos x	0	0
3	x ^2 ( 1 - x )	0	0	11	xsin( 2 ( x - 1) )	0	0
4	1 - x ^4	1	0	12	l n (0.5 + x ) ( x - 1)	0.7	0
5	x sin (2 π x)	0	- 0.3	13	xsin( 4 ( x - 1) ) - x	0	-1
6	( x - 1) sin ^2 x	0	0	14	x cos (2 π x)	0	1
7	4 x ^2 ( x - 1 )	0	0.5	15	x e ^-^x ( x ^4 - 2)	0	- 0.4
8	10 x ^3 ( x - 1 )	0.5	0

Задание. Найти решение φ(х) для одномерного уравнения:
,
с начальным условием
ρ(x)=12^.x² ,
и нулевыми граничными условиями
φ(0)= φ(1)=0 .
Построить графики решений краевой задачи для различных значениях параметра N_Iter.
Сравнить скорость сходимости методов “верхней” и “нижней” релаксации.

№ варианта	ρ(x)	N-Itermax	ω “верхнее”	ω “нижнее”
1	2 x ^2 + 0.5	150	0.2	1.9
2	2.5 cos x	200	0.3	1.6
3	2 ( x - 1)	175	0.5	1.5
4	0.5 ( x - 1)	155	0.7	1.8
5	4 ( x - 1) - x	180	0.6	1.7
6	x cos (2 x)	190	0.4	1.2
7	x ( x ^4 - 2)	200	0.3	1.5
8	e ^–^x( х-2)	210	0.5	1.6
9	2 x( x - 1 )	190	0.6	1.9
10	x ^2 - x	170	0.8	1.9
11	x ( 1 - x )	180	0.5	1.4
12	1 - x ^2	200	0.6	1.4
13	x sin (2 π x)	190	0.7	1.9
14	5 ( x - 1)	160	0.9	1.8
15	x ^2 ( x - 1)	170	0.3	1.4
16	x ^3( x - 1)	180	0.2	1.2

Задание. Решить краевую задачу двумерного уравнения Пуассона

для квадратной области 0 x L см, 0 y L см.
При этом известны потенциалы на границах области

Предполагается, что внутри области имеется ячейка

в которой заряд распределен равномерно с известной плотностью ρ[В/см²].

№ варианта	ρ[В/см^2]	L (см)	х1 ; х2	y1 ; y2
1	200	2	1.2 ; 1.4	0.9 ; 1.1
2	300	3	1.3 ; 1.5	1.6 ; 1.8
3	600	4	2.5 ; 2.7	1.5 ; 1.8
4	500	5	3.7 ; 3.9	1.8 ; 2.1
5	400	3	1.6 ; 1.8	1.7 ; 1.9
6	800	2	1.4 ; 1.6	1.2 ; 1.3
7	200	1	0.3 ; 0.5	0.5 ; 0.6
8	500	5	3.5 ; 3.7	1.6 ; 1.9
9	300	4	2.6 ;2.8	1.9 ; 2.1
10	900	3	1.8 ; 2.0	1.9 ; 2.0
11	400	2	0.5 ; 0.7	1.4 ; 1.6
12	500	2	1.6 ; 1.7	1.4 ; 1.5
13	700	4	2.7 ; 2.9	1.9 ; 2.1
14	300	3	1.9 ; 2.1	1.8 ; 2.0
15	400	1	0.3 ;0.4	0.4 ; 0.6