Радиал-базисли функцияларга асосланган тўрлари

Радиал-базисли функцияларга асосланган тўрлари

Кўп қатламли нейрон тармоқлар математика нуқтаи назаридан кириш ўзгарувчилари тўпламини чиқиш ўзгарувчилари тўпламига айлантириш орқали бир нечта ўзгарувчиларнинг стохастик функциясини яқинлаштиришни амалга оширади. Сигмасимон фаоллашув функциясининг табиатига кўра, глобал типнинг яқинлашуви амалга оширилади, чунки космоснинг ихтиёрий нуқтасида функция қийматининг ўзгариши кўплаб нейронларнинг биргаликдаги ҳаракатлари билан амалга оширилади.

Кириш тўпламини чиқиш тўпламига солиштиришнинг яна бир усули - бир нечта ягона мос функцияларни кутилган қийматларга мослаштириш орқали трансформация қилиш ва бу мослашиш фақат кўп ўлчовли маконнинг маҳаллий ҳудудида амалга оширилади. Ушбу ёндашув билан бутун маълумотлар тўпламининг кўриниши маҳаллий трансформациялар йиғиндисидир ва яширин нейронлар маҳаллий типдаги асосий функциялар тўпламини ташкил қилади.
Яширин нейронлар танланган марказ атрофида радиал равишда ўзгариб турадиган функцияларни бажарадиган ва фақат шу марказ яқинида нолга тенг бўлмаган қийматларни қабул қиладиган радиал тармоқлардан махсус оила шаклланади. , сифатида аниқланган бундай функциялар радиал асосли функциялар дейилади. Бундай тармоқларда яширин нейроннинг роли битта берилган нуқта атрофида ёки кластерни ташкил этувчи бундай нуқталар гуруҳи атрофида радиал бўшлиқни кўрсатишдан иборат. Чиқиш нейрони томонидан амалга ошириладиган барча яширин нейронлардан келадиган сигналларнинг суперпозицияси бутун кўп ўлчовли маконнинг харитасини олиш имконини беради.
Радиал тармоқлар сигмасимон тармоқларнинг табиий давоми ҳисобланади. Сигмасимон нейрон кўп ўлчовли фазода бу бўшлиқни икки синфга ажратувчи гиперплан билан ифодаланади, бунда иккита шартдан бири бажарилади: ёки ёки . Ушбу ёндашув 3.1а-расмда кўрсатилган. Ўз навбатида, радиал нейрон гиперсфера бўлиб, у марказий нуқта атрофида маконнинг шарсимон бўлинишини амалга оширади (3.1б-расм).
Айнан шу нуқтаи назардан, радиал нейрон сигмасимон нейроннинг табиий тўлдирувчиси ҳисобланади, чунки маълумотларнинг даиресел симметриясида у турли синфларни ажратиш учун зарур бўлган нейронлар сонини сезиларли даражада камайтириши мумкин.

Рис. 3.1 Маълумотлар фазосини бўлиниш усулларини намоиш этиш:
a) сигмоидал нейрон билан; б) радиал нейрон билан;
Нейронлар турли хил асосий функцияларни бажариши мумкинлиги сабабли, радиал тармоқларда кўп миқдордаги яширин қатламларга эҳтиёж йўқ. Одатий радиал тармоқнинг тузилиши кириш вектори x томонидан тасвирланган сигналларни қабул қилувчи кириш қатламини, радиал типдаги нейронларга эга яширин қатламни ва одатда бир ёки бир нечта чизиқли нейронлардан иборат чиқиш қатламини ўз ичига олади. Чиқиш нейронининг функцияси фақат яширин нейронлар томонидан яратилган сигналларнинг вазнли йиғиндисига камаяди.
Радиал тармоқларнинг ишлашининг математик асоси Т. Ковернинг тасвирларнинг бўлиниши ҳақидаги теоремаси бўлиб, унда қуйидагиларни тасдиқлайди:
Мураккаб тимсол таснифлаш масаласини юқори ўлчамли фазога ночизиқли айлантириш чизиқли нақш ажратиш эҳтимолини оширади.
Тасвирларнинг ажратилиши ҳақидаги Ковер теоремаси икки нуқтага асосланади

1. 
   Ночизиқли яширин функциянинг таърифи , бу эрда - кириш вектори, - яширин фазонинг ўлчами.
   
2. 
   Кириш ўлчамига нисбатан яширин бўшлиқнинг юқори ўлчами. Бу ўлчам га тайинланган қиймат (яъни яширин нейронлар сони) билан белгиланади.
   

Агар ўлчовли кириш фазосида радиал функциялар вектори билан белгиланган бўлса, у ҳолда бу фазо чизиқли бўлмаган - иккита фазо синфига ва бўлиниши мумкин бўлган вазн вектори мавжуд бўлганда.
(3.1)
Бу синфлар орасидаги чегара тенгламаси билан аниқланади.
Кўп ўлчовли фазога тасодифий жойлаштирилган ҳар бир тасвир тўплами -1 эҳтимоллик билан ажратилиши мумкинлигини исботлади, агар бу бўшлиқнинг ўлчами катта бўлса. Амалда бу шуни англатадики, нинг радиал функцияларини амалга оширадиган етарлича катта миқдордаги яширин нейронлардан фойдаланиш фақат икки қатламли тармоқни қуришда таснифлаш муаммосини ҳал қилишни кафолатлайди. Бундай ҳолда, яширин қатлам векторини амалга ошириши керак ва чиқиш қатлами вектори томонидан белгиланган оғирлик коэффициентлари билан яширин нейронларнинг чиқиш сигналларини жамлайдиган битта чизиқли нейрондан иборат бўлиши мумкин.
Энг оддий радиал типдаги нейрон тармоқ кўп ўлчовли интерполяция принципи бўйича ишлайди, у ўлчовли кириш майдонидан рационал сонлари тўпламигача турли кириш векторларининг ларини хариталашдан иборат. Ушбу жараённи амалга ошириш учун радиал типдаги яширин нейронларнинг дан фойдаланиш ва интерполяция шарти қондириладиган хариталаш функциясини ўрнатиш керак:
(3.2)
Амалий нуқтаи назардан, парчаланишда кўп сонли асосий функцияларидан фойдаланиш қабул қилиниши мумкин эмас, чунки агар ўқув танловлари сони катта бўлса ва радиал функциялар сонига тенг бўлса, натижада ҳисоблаш мураккаблиги ўқитиш алгоритми ҳаддан ташқари кўпаяди ва тармоқнинг ўзи ўқув намуналари билан бирга келадиган турли хил шовқин ва тартибсизликларга мослашади. Шунинг учун оғирликлар сонини камайтириш керак, бу эса асосий функциялар сонининг камайишига олиб келади. Бундай ҳолда, пастроқ ўлчамдаги бўшлиқдан субоптимал ечим изланади, бу аниқ ечимни этарли даражада аниқлик билан яқинлаштиради. Агар биз ўзимизни асосий функциялари билан чекласак, у ҳолда тахминий ечим сифатида ифодаланиши мумкин
(3.3)
Бу ерда ва - аниқланадиган марказлар тўплами. Махсус ҳолатда, агар қабул қилинган бўлса, унда аниқ ечимини олиш мумкин.
Аппроксимации вазифаси радиал функцияларининг тегишли сонини ва уларнинг параметрларини танлаш, шунингдек, (3.3) тенгламанинг ечими аниқга энг яқин бўладиган тарзда оғирликларини танлашдан иборат. Шунинг учун, радиал функцияларнинг параметрларини ва тармоғининг оғирликлари қийматларини танлаш муаммоси, Эвклид метрикасидан фойдаланганда шаклда ёзиладиган мақсад функциясини минималлаштиришга қисқартирилиши мумкин.
(3.4)
Ушбу тенгламада радиал нейронлар сонини, эса ўқув жуфтлари сонини ифодалайди, бу эрда кириш вектори ва мос келадиган кутилган чиқиш векторидир.