"Raqam moduli" mavzusi butun maktab davomida va oliy matematikada o'tilganiga qaramay, uni dasturda o'qish uchun kam vaqt ajratiladi

Mavzuni tanlash, birinchidan, mutlaq qiymatlar bilan bog'liq muammolar ko'pincha matematik olimpiada va imtihonlarda topilganligi, ikkinchidan, bu tushuncha nafaqat maktab matematik kursining turli bo'limlarida, balki oliy matematikada ham keng qo'llaniladi. . Shunday qilib, matematik tahlilda asosiy tushunchalarni aniqlashda sonning mutlaq qiymati tushunchasi qo'llaniladi: chegara, funktsiyaning chegaralanishi va boshqalar. Taxminiy hisoblar nazariyasida mutlaq xato tushunchasi qo'llaniladi. Mexanikada, geometriyada vektor tushunchasi o'rganiladi, uning xususiyatlaridan biri uning uzunligi (vektor moduli) hisoblanadi.
"Raqam moduli" mavzusi butun maktab davomida va oliy matematikada o'tilganiga qaramay, uni dasturda o'qish uchun kam vaqt ajratiladi (6-sinfda - 2 soat, 8-sinfda - 4-4 soat).
Yuqoridagilarga asoslanib, o'qituvchi modul bilan muammolarni echishda o'qitishda turli xil metodik usullarni topishi, turli xil yondashuvlar va usullardan foydalanishi kerak. Turli usullar matematik bilimlarni ongli ravishda egallashga, o'quvchilarni ijodiy faoliyatga jalb qilishga, shuningdek o'qituvchi oldida turgan bir qator metodologik muammolarni o'quv jarayoniga, xususan, intrasubekt aloqalarni (algebra-geometriya) amalga oshirishga, grafikadan foydalanish ko'lamini kengaytirishga, o'quvchilarning grafik madaniyatini oshirishga yordam beradi. .
Ushbu holatlar ijodiy ish mavzusini tanlashni aniqladi. Ishning maqsadi: Maktab o'quv dasturida "Tenglamalarni modul bilan hal qilish" mavzusini chuqurroq ko'rib chiqish zarurligini ko'rsatish, modul bilan bog'liq muammolarni hal qilishda turli usullardan foydalanish bo'yicha ko'rsatmalarni ishlab chiqish. §1. Modulni o'z ichiga olgan tenglamalarni echishda qo'llaniladigan asosiy usullar.
Ushbu mavzuda ishlatilgan asosiy tushunchalarni eslang. Bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglama o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglik deyiladi. Tenglamaning ildizlari o'zgaruvchining qiymatlari bo'lib, unda tenglama haqiqiy tenglikka aylanadi. Tenglamani yechish uning barcha ildizlarini topish yoki ildizlari yo'qligini isbotlashni anglatadi. Modul bilan tenglama bu modul belgisi ostida o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglikdir.
Mutlaq qiymat belgisini o'z ichiga olgan tenglamalarni echishda biz sonning mutlaq qiymatini va sonning mutlaq qiymatining xususiyatlarini aniqlashga asoslanamiz.
Modul yordamida tenglamalarni echishning bir necha yo'li mavjud. Keling, ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.
1-usul. Modulni ketma-ket ochish usuli.
1-misol. | X-5 | = 4 tenglamani echamiz.
Modulning ta'rifiga asoslanib, biz quyidagi mulohazalarni qilamiz. Agar modul belgisi ostidagi ifoda manfiy bo'lmagan bo'lsa, ya'ni x-5≥0 bo'lsa, tenglama x-5 = 4 shaklini oladi. Agar modul belgisi ostidagi ifoda qiymati manfiy bo'lsa, ta'rif bo'yicha u - (x-5) = 4 yoki x-5 = -4 ga teng bo'ladi. Olingan tenglamalarni echib, x1 = 9, x2 = 1 ni topamiz.
Javob: 9, 1.
Xuddi shu tarzda "modulda modul" mavjud bo'lgan tenglamani echamiz.
2-misol. || 2x-1 | -4 | = 6 tenglamani echamiz.
Shunga o'xshash tarzda bahslashganda, biz ikkita holatni ko'rib chiqamiz.
1). | 2x-1 | -4 = 6, | 2x-1 | = 10. Modulning ta'rifidan foydalanib, biz quyidagilarga erishamiz: 2x-1 = 10 yoki 2x-1 = -10. Qayerdan x1 = 5,5, x2 = -4.5.
2). | 2x-1 | -4 = -6, | 2x-1 | = -2. Bu holda tenglamaning echimi yo'qligi aniq, chunki ta'rifi bo'yicha modul har doim manfiy emas.
Javob: 5.5, -4.5.
2-usul. Intervalgacha usul
Ma'lumot uchun ma'lumotlar:
Intervalgacha usul - bu raqamlar qatorini intervallarga bo'lish usuli bo'lib, modulning ta'rifi bilan mutlaq qiymat belgisini olib tashlash mumkin. Bo'shliqlarning har biri uchun tenglamani echib, hosil bo'lgan ildizlar to'g'risida xulosa chiqarish kerak. Bo'shliqlarni qondiradigan ildizlar yakuniy javobni beradi.
3-misol. | X + 3 | + | x-1 | = 6 tenglamani echamiz.
Modul belgisi ostidagi har bir ifoda ildizlarini (nollarni) toping: x + 3 = 0, x = -3, x-1 = 0, x = 1. Ushbu x qiymatlar son qatorini uchta bo'shliqqa ajratadi:
-3 1
Olingan intervallarning har birida tenglamani alohida hal qilamiz. Birinchi intervalda (x Davydova Natalya Alexandrovna 06.06.2011 192859 0
Nazariy bit
Shunday qilib, ketaylik. Eng muhimi bilan boshlaylik: modul nima? Eslatib o'taman, raqamning moduli shunchaki bir xil raqam, ammo minus belgisisiz olingan. Ya'ni, masalan, $ left | -5 right | = 5 $. Yoki $ left | -129.5 right | = 129.5 $.
Bu oddiymi? Ha, oddiy. Va keyin musbat sonning moduli nima? Bu erda yanada sodda: musbat sonning moduli bu raqamning o'zi bilan tengdir: $ left | 5 right | = 5 $, $ left | 129.5 right | = 129.5 $ va hokazo.
Qiziq narsa paydo bo'ldi: turli xil raqamlar bir xil modulga ega bo'lishi mumkin. Masalan: $ left | -5 o'ng | = chap | 5 right | = 5 $, $ left | -129.5 right | = chap | 129.5 right | = 129.5 $. Modullar bir xil bo'lgan raqamlarning qanday turlarini farqlash oson: bu raqamlar qarama-qarshi. Shunday qilib, biz qarama-qarshi raqamlarning modullari teng ekanligini ta'kidlaymiz:
[ chap | -a o'ng | = chap | a right | ]
Yana bir muhim fakt: modul hech qachon salbiy bo'lmaydi. Qaysi raqamni olsak ham - ijobiy, hatto salbiy bo'lsa ham - uning moduli har doim ijobiy (yoki haddan tashqari holatlarda, nol) bo'ladi. Shuning uchun modul ko'pincha raqamning mutlaq qiymati deb nomlanadi.
Bundan tashqari, agar musbat va manfiy sonlar uchun modul ta'rifini birlashtirsak, barcha raqamlar uchun modulning global ta'rifiga ega bo'lamiz. Aniqrog'i: agar raqam musbat bo'lsa (yoki nol) bo'lsa, sonning moduli shu songa teng yoki agar manfiy bo'lsa, qarama-qarshi raqamga teng bo'ladi. Buni formulada yozishingiz mumkin:
[ chap | a right | = chap < boshlanadi& a, quad a ge 0, & -a, quad a lt 0. end o'ng. ]
Nol modul ham mavjud, ammo u har doim nolga teng. Bunga qo'shimcha ravishda, nol - bu aksincha bo'lmagan yagona raqam.
Shunday qilib, agar biz $ y = left | funktsiyasini ko'rib chiqsak x right | $ va uning grafigini chizishga harakat qiling, shunda siz bunday "jakdaw" olasiz:
Modulning grafigi va tenglamani yechishga misol
Ushbu rasmdan darhol $ left | belgisini ko'rishingiz mumkin -m right | = chap | m right | $, va modul grafigi hech qachon abscissa o'qidan pastga tushmaydi. Ammo bu hammasi emas: qizil chiziq $ y = a $ chizig'ini belgilaydi, bu ijobiy $ a $ uchun bizga bir vaqtning o'zida ikkita ildiz beradi: $ <_ <1>> $ va $ <_ <2>> $, lekin bu haqda keyinroq gaplashamiz. :)
Sof algebraik ta'rifdan tashqari, geometrik ta'rif mavjud. Aytaylik, raqamlar qatorida ikkita nuqta bor: $ <_ <1>> $ va $ <_ <2>> $. Bunday holda, $ left | ifodasi <_<1>>-<_ <2>> right | $ - bu shunchaki belgilangan nuqtalar orasidagi masofa. Yoki xohlasangiz, ushbu nuqtalarni bog'laydigan segment uzunligi:
Modul raqamlar qatoridagi nuqtalar orasidagi masofa
Bundan tashqari, ushbu ta'rifdan modul har doim salbiy emasligi aniqlanadi. Ammo etarlicha aniqliklar va nazariya - keling, ushbu tenglamalarga o'taylik. :)
Asosiy formula
Xo'sh, aniqlangan tartibda. Ammo bu ishni osonlashtirmadi. Ushbu modulni o'z ichiga olgan tenglamalarni qanday hal qilish kerak?
Tinchlaning, faqat tinchlaning. Eng oddiy narsalardan boshlaylik. Shunga o'xshash narsani ko'rib chiqing:
Shunday qilib, $ x $ moduli 3 ga teng bo'ladi, nima $ x $ ga teng bo'lishi mumkin? Ta'rifga ko'ra, biz $ x = 3 $ bilan mamnunmiz. Darhaqiqat:
Boshqa raqamlar bormi? Qopqoq, nima bo'lsa, shuni ko'rsatib turibdi. Masalan, $ x = -3 $ - uning uchun ham, $ left | -3 o'ng | = 3 $, ya'ni. talab qilinadigan tenglik.
Shunday qilib, ehtimol, agar qidirsangiz, o'ylang, biz ko'proq raqamlarni topamiz? Ammo uzing: boshqa raqamlar yo'q. $ Left | tenglamasi x right | = 3 $ ning ikkita ildizi bor: $ x = 3 $ va $ x = -3 $.
Endi vazifani biroz murakkablashtiraylik. $ X $ o'zgaruvchisining o'rniga $ f chap (x o'ng) $ funktsiyasi modul belgisi ostida osib qo'yilsin, o'ngda esa uchlik o'rniga ixtiyoriy $ a $ raqami qo'yilsin. Tenglamani olamiz:
[ chap | f chap (x o'ng) o'ng | = a ]
Xo'sh, buni qanday hal qilish kerak? Eslatib o'taman: $ f chap (x o'ng) $ - bu ixtiyoriy funktsiya, $ a $ - bu har qanday raqam. I.e. umuman har qanday! Masalan:
[ chap | 2x + 1 o'ng | = 5 ]
[ chap | 10x-5 o'ng | = -65 ]
Ikkinchi tenglamaga e'tibor qaratsak. U haqida darhol gapirishingiz mumkin: uning ildizi yo'q. Nima uchun? To'g'ri: chunki modul hech qachon bo'lmaydigan manfiy songa teng bo'lishini talab qiladi, chunki biz modul har doim musbat sonli yoki haddan tashqari holatlarda nolga teng ekanligini bilamiz.
Ammo birinchi tenglama bilan hamma narsa yanada qiziqarli. Ikkita variant mavjud: yoki modulning belgisi ostida ijobiy ifoda va keyin $ left | 2x + 1 right | = 2x + 1 $, yoki bu ibora baribir salbiy, keyin $ chap | 2x + 1 o'ng | = - chap (2x + 1 o'ng) = - 2x-1 $. Birinchi holda, tenglamamiz quyidagicha yoziladi:
[ chap | 2x + 1 o'ng | = 5 O'ng qator 2x + 1 = 5 ]
Va to'satdan $ 2x + 1 $ submodulyar ifodasi haqiqatan ham ijobiy ekanligi aniqlandi - bu 5 raqamiga teng. biz ushbu tenglamani xotirjamlik bilan echishimiz mumkin - natijada olingan ildiz javobning bir qismi bo'ladi:
[2x + 1 = 5 O'ng qator 2x = 4 O'ng chiziq x = 2 ]
Ayniqsa, ishonmaydigan odamlar topilgan ildizni asl tenglamada almashtirishga harakat qilishlari mumkin va modul ostida ijobiy raqam bo'lishiga ishonch hosil qilishlari mumkin.
Endi salbiy submodulli ifoda misolini ko'rib chiqamiz:
[ chap < boshlanadi& chap | 2x + 1 o'ng | = 5 & 2x + 1 lt 0 oxiri o'ng. O'ng tomonga -2x-1 = 5 O'ng qator 2x + 1 = -5 ]
Voy! Hamma narsa yana aniq: biz $ 2x + 1 lt 0 $ deb taxmin qildik va natijada $ 2x + 1 = -5 $ oldik - haqiqatan ham bu ifoda noldan kam. Biz hosil bo'lgan tenglamani echamiz, bunda topilgan ildiz bizga mos kelishini oldindan bilgan holda:
[2x + 1 = -5 O'ng qator 2x = -6 O'ng tomonga x = -3 ]
Hammasi bo'lib, biz yana ikkita javob oldik: $ x = 2 $ va $ x = 3 $. Ha, hisoblar miqdori juda oddiy $ $ left tenglamasiga qaraganda biroz kattaroq bo'ldi x right | = 3 $, lekin asosan hech narsa o'zgarmadi. Shunday qilib, ehtimol universal algoritm mavjudmi?
Ha, bunday algoritm mavjud. Va endi biz uni ajratib olamiz.
Modul belgisidan xalos bo'lish
Bizga $ left | tenglamasi berilsin f chap (x o'ng) right | = a $ va $ a ge 0 $ (aks holda biz allaqachon bilganimizdek, ildizlar yo'q). Shunda siz quyidagi qoida bo'yicha modul belgisidan xalos bo'lishingiz mumkin:
[ chap | f chap (x o'ng) o'ng | = a O'ng tomon f / chap (x o'ng) = pm a ]
Shunday qilib, modul bilan tenglamamiz ikkiga bo'linadi, ammo modulsiz. Bu barcha texnologiyalar! Keling, ikkita tenglamani echishga harakat qilaylik. Shu bilan boshlaylik
[ chap | 5x + 4 o'ng | = 10 O'ng qator 5x + 4 = pm 10 ]
O'nda ortiqcha va o'ntaliklar o'ng tomonda bo'lganda va minus bilan bo'lganda alohida ko'rib chiqamiz. Bizda:
Bu hammasi! Biz ikkita ildiz oldik: $ x = 1.2 $ va $ x = -2.8 $. Butun qaror tom ma'noda ikki chiziqdan iborat bo'ldi.
Ok, savol yo'q, biroz jiddiyroq narsani ko'rib chiqaylik:
[ chap | 7-5x o'ng | = 13 ]
Yana modulni ortiqcha va minus bilan oching:
Yana bir necha qator - va javob tayyor! Aytganimdek, modullarda murakkab narsa yo'q. Siz faqat bir nechta qoidalarni eslab qolishingiz kerak. Shuning uchun biz yanada murakkab vazifalarni davom ettiramiz.
O'zgaruvchan o'ng tomonning holati
Endi ushbu tenglamani ko'rib chiqing:
[ chap | 3x-2 o'ng | = 2x ]
Ushbu tenglama avvalgilaridan tubdan farq qiladi. Nima? Teng belgining o'ng tomonida $ 2x $ ifodasi mavjud va biz uning ijobiy yoki salbiy ekanligini oldindan bilib bo'lmaydi.
Bunday holatda nima qilish kerak? Birinchidan, buni bir marta va barchamiz tushunishimiz kerak agar tenglamaning o'ng tomoni salbiy bo'lsa, u holda tenglamaning ildizi bo'lmaydi - modul manfiy songa teng bo'lishi mumkin emasligini biz allaqachon bilamiz.
Va ikkinchidan, agar o'ng qism hali ham ijobiy bo'lsa (yoki nolga teng bo'lsa), unda siz avvalgidek harakat qilishingiz mumkin: faqat modulni ortiqcha belgisi bilan va alohida-alohida minus belgisi bilan alohida oching.
Shunday qilib, biz $ f chap (x o'ng) $ va $ g chap (x o'ng) $ ixtiyoriy funktsiyalari uchun qoida ishlab chiqamiz:
[ chap | f chap (x o'ng) o'ng | = g chap (x o'ng) O'ng tomorqa / chap < boshlanadi& f chap (x o'ng) = pm g chap (x o'ng), & g chap (x o'ng) ge 0. oxirida o'ng. ]
Bizning tenglamamizga kelsak:
[ chap | 3x-2 right | = 2x O'ng to'g'ri chap < boshlanadi& 3x-2 = pm 2x, & 2x ge 0. oxiri o'ng. ]
Xo'sh, biz $ 2x ge 0 $ talabini qandaydir tarzda bajara olamiz. Oxir-oqibat, siz birinchi tenglamadan olingan ildizlarni ahmoqona almashtirishingiz va tengsizlik ushlab turilmasligini tekshirishingiz mumkin.
Shuning uchun biz tenglamani o'zi hal qilamiz:
Xo'sh, va bu ikki ildizning qaysi biri $ 2x ge 0 $ talabiga javob beradi? Ha, ikkalasi ham! Shuning uchun ikkita raqam orqaga qaytadi: $ x = <4> / <3> , $ va $ x = 0 $. Bu butun echim. :)
Men talabalardan biri allaqachon zerikishni boshlagan deb gumon qilyapmanmi? Xo'sh, yanada murakkab tenglamani ko'rib chiqing:
Garchi u shafqatsiz bo'lib ko'rinsa-da, aslida bu "modul funktsiyaga teng" shaklning tenglamasidir:
[ chap | f chap (x o'ng) o'ng | = g chap (x o'ng) ]
Va u xuddi shu tarzda hal qilinadi:
Keyinchalik tengsizlik bilan kurashamiz - bu qandaydir o'ta shafqatsiz (aslida sodda, ammo biz uni hal qila olmaymiz). Olingan tenglamalar bilan shug'ullanish yaxshidir. Birinchi vaziyatni ko'rib chiqing - modul plyus belgisi bilan kengayganda:
Xo'sh, bu erda va kirpi chap tomonda hamma narsani to'plash, o'xshashlarini olib kelish va nima bo'lishini ko'rish kerakligi aniq. Va shunday bo'ladi:
$ > $ qavs ichidan chiqadi va biz juda oddiy tenglamani olamiz:
Bu erda biz mahsulotning muhim xususiyatlaridan foydalandik, buning uchun biz asl polinomiyani faktorlarga ajratdik: agar hech bo'lmaganda bitta omil nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng bo'ladi.
Endi biz modulni minus belgisi bilan kengaytirish orqali olingan ikkinchi tenglamani xuddi shunday echamiz.
Yana bir xil narsa: agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng bo'ladi. Bizda:
Xo'sh, biz uchta ildiz oldik: $ x = 0 $, $ x = 1,5 $ va $ x = <2> / <3> , $. Xo'sh, ushbu to'plamdan qaysi biri yakuniy javobga o'tadi? Buning uchun biz tengsizlik shaklida qo'shimcha cheklovga ega ekanligimizni eslang:
Ushbu talabni qanday hisobga olish kerak? Ha, biz shunchaki topilgan ildizlarni almashtiramiz va tekshiramiz: tengsizlik bu $ x $ uchun mos yoki yo'q. Bizda:
Shunday qilib, $ x = 1.5 $ ildizi bizga mos kelmaydi. Bunga javoban faqat ikkita ildiz ketadi:
Ko'rib turganingizdek, hatto bu holatda ham murakkab narsa yo'q edi - modullar bilan tenglamalar har doim algoritm tomonidan hal qilinadi. Faqat polinomiyalar va tengsizliklarni yaxshi tushunish kerak. Shuning uchun biz yanada murakkab vazifalarga o'tmoqdamiz - allaqachon bitta emas, ikkita modul mavjud.
Ikki modulli tenglamalar
Hozircha biz faqat eng oddiy tenglamalarni o'rganib chiqdik - bitta modul va yana bir narsa bor edi. Biz ushbu "yana bir narsani" moduldan uzoqda bo'lgan tengsizlikning boshqa qismiga yubordik, shunda hamma narsa $ left shakli tenglamasiga tushadi. f chap (x o'ng) o'ng | = g chap (x o'ng) $ yoki hatto sodda $ chap | f chap (x o'ng) o'ng | = a $.
Ammo bolalar bog'chasi tugadi - jiddiyroq narsani ko'rib chiqish vaqti keldi. Ushbu turdagi tenglamalardan boshlaylik:
[ chap | f chap (x o'ng) o'ng | = chap | g chap (x o'ng) o'ng | ]
Ushbu tenglama «modul modulga teng» shaklida bo'ladi. Boshqa shartlar va omillarning yo'qligi printsipial muhim nuqta: chapda bitta modul, o'ngdagi boshqa modul - va boshqa hech narsa.
Endi kimdir bunday tenglamalarni biz shu paytgacha o'rganganimizdan ko'ra murakkabroq echim deb o'ylashadi. Va bu erda emas: bu tenglamalar yanada osonroq echiladi. Bu erda formula:
[ chap | f chap (x o'ng) o'ng | = chap | g chap (x o'ng) o'ng | O'ng chiziq f chap (x o'ng) = pm g chap (x o'ng) ]
Hammasi shu! Biz shunchaki submodulyar iboralarni ularning oldiga ortiqcha yoki minus belgisini qo'yib tenglashtiramiz. Va keyin biz olingan ikkita tenglamani echamiz - va ildizlar tayyor! Qo'shimcha cheklovlar, tengsizliklar va boshqalar yo'q. Hammasi juda oddiy.
Keling, ushbu muammoni hal qilishga harakat qilaylik:
[ chap | 2x + 3 o'ng | = chap | 2x-7 o'ng | ]
Boshlang'ich, Uotson! Biz modullarni ochib beramiz:
[ chap | 2x + 3 o'ng | = chap | 2x-7 o'ng | O'ng qator 2x + 3 = pm chap (2x-7 o'ng) ]
Biz har bir ishni alohida ko'rib chiqamiz:
Birinchi tenglamada ildiz yo'q. Chunki qachon $ 3 = -7 $? $ X $ ning qiymatlari qanday? "Xiyonat nima? $ X $? Siz chekdingizmi? Hech qanday $ x $ yo'q ", deysiz. Va siz haq bo'lasiz. Biz $ x $ o'zgaruvchisidan mustaqil bo'lgan tenglikni oldik va tenglikning o'zi noto'g'ri. Shuning uchun, ildiz yo'q. :)
Ikkinchi tenglama bilan hamma narsa biroz qiziqroq, ammo juda sodda:
[2x + 3 = -2x + 7 O'ng qator 4x = 4 O'ng tomonga x = 1 ]
Ko'rib turganingizdek, hamma narsa tom ma'noda bir nechta chiziqda hal qilindi - biz chiziqli tenglamadan boshqasini kutmagan edik. :)
Yakuniy javob: $ x = 1 $.
Qanday? Qiyinmi? Albatta yo'q. Keling, yana bir narsani sinab ko'raylik:
Yana bizda $ left | shakl tenglamasi mavjud f chap (x o'ng) o'ng | = chap | g chap (x o'ng) o'ng | $. Shuning uchun biz darhol modulning belgisini ochib, uni qayta yozamiz:
Ehtimol, hozir kimdir so'rashi mumkin: "Hey, qanaqa bema'nilik? Nega “plyus” yoki “minus” chap tomonda emas, balki o'ng tomonda turibdi? Darhaqiqat, yaxshi tarzda biz tenglamamizni quyidagicha qayta yozishimiz kerak edi:
Keyin siz qavslarni ochishingiz kerak, barcha atamalarni teng belgining bir tomoniga o'tkazing (chunki tenglama ikkala holatda ham kvadrat bo'ladi) va keyin ildizlarni toping. Ammo tan olishingiz kerak: ortiqcha yoki minus uchta shart oldida (ayniqsa, agar bu atamalardan biri kvadratik ifoda bo'lsa), negadir plyus yoki minus faqat ikkita atamaning oldida bo'lgan vaziyatga qaraganda murakkabroq ko'rinadi.
Ammo asl tenglamani quyidagicha yozishimizga hech narsa to'sqinlik qilmaydi:
[ chap | x-1 o'ng | = chap | <^ <2>> -3x + 2 o'ng | O'ng tugmachasi chap | <^ <2>> -3x + 2 right | = chap | x-1 o'ng | ]
Nima sodir bo `LDI? Ha, maxsus hech narsa yo'q: chap va o'ng tomonlarni almashtirish. Bu arzimas narsa, natijada hayotimizni biroz soddalashtiramiz. :)
Umuman olganda, biz bu tenglamani plyus va minusli variantlarni ko'rib chiqib hal qilamiz:
Birinchi tenglamada $ x = 3 $ va $ x = 1 $ ildizlari bor. Ikkinchisi, odatda aniq kvadrat:
Shuning uchun uning bitta ildizi bor: $ x = 1 $. Ammo biz allaqachon bu ildizni oldik. Shunday qilib, yakuniy javobga faqat ikkita raqam kiradi:
Missiya bajarildi! Siz uni javondan olib, pirog eyishingiz mumkin. Ulardan ikkitasi bor, sizning o'rtacha ko'rsatkichingiz. :)
Muhim eslatma. Modul kengayishining turli xil variantlari uchun bir xil ildizlarning mavjudligi asl polinomlar faktorlanganligini anglatadi va bu omillar orasida albatta bitta umumiy bo'ladi. Darhaqiqat:
Modul xususiyatlaridan biri: $ left | a cdot b right | = chap | a right | cdot chap | b right | $ (ya'ni, modul mahsulot moduli modullarning mahsulotiga teng), shuning uchun asl tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:
[ chap | x-1 o'ng | = chap | x-1 right | cdot chap | x-2 o'ng | ]
Ko'rib turganingizdek, bizda haqiqatan ham umumiy omil mavjud. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:
Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
[left[ egin& left| x-1 ight|=0, & left| x-2 ight|=1. end ight.]
Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)
Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)
Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.
Shunga qaramay, ushbu tenglama biz ilgari ko'rib chiqqanimizdan ham osonroq echiladi. Va agar siz buning sababini tushunsangiz, modullar yordamida tenglamalarni tezda hal qilish uchun yana bir hiyla olasiz.
Yo'q, bu xato emas: modullar orasida aniq bir ortiqcha. Va biz ikkita modulning yig'indisi nolga teng bo'lgan $ x $ ni topishimiz kerak. :)
Muammo nima? Va muammo shundaki, har bir modul ijobiy son yoki haddan tashqari holatlarda nolga teng. Va ikkita ijobiy raqamni qo'shsangiz nima bo'ladi? Shubhasiz, yana ijobiy raqam:
Oxirgi satr fikrlashga olib kelishi mumkin: modullarning yig'indisi nolga teng bo'lgan yagona holat, agar har bir modul nolga teng bo'lsa:
Va qachon modul nolga teng? Faqat bitta holatda - submodul ifodasi nol bo'lganida:
[x- <^ <3>> = 0 O'ng chiziq x chapda (1- <^ <2>> right) = 0 O'ng tugmacha chap [ boshlanadi& x = 0 & x = pm 1 oxiri o'ng. ]
[<^ <2>> + x-2 = 0 O'ng tugmachasi chap (x + 2 o'ng) chap (x-1 o'ng) = 0 O'ng tomonda / chapda [ boshlanadi& x = -2 & x = 1 oxiri o'ng. ]
Shunday qilib, bizda birinchi modul nolga teng bo'lgan uchta nuqta bor: 0, 1 va −1, shuningdek, ikkinchi modul nolga teng bo'lgan ikkita nuqta: −2 va 1. Biroq, ikkala modul ham bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi kerak, shuning uchun ular orasida. topilgan raqamlarni ikkala to'plamdagi raqamlarni tanlashingiz kerak. Shubhasiz, bu raqam faqat bitta: $ x = 1 $ - bu oxirgi javob bo'ladi.
Yorilish usuli
Biz allaqachon bir nechta vazifalarni ko'rib chiqdik va ko'p nayranglarni bilib oldik. Sizningcha, bularning hammasi bormi? Va yo'q! Endi biz oxirgi qabul qilishni ko'rib chiqamiz - va shu bilan birga eng muhimi. Bu tenglamalarni modul bilan bo'lish haqida bo'ladi. Bu nima bo'ladi? Keling, biroz orqaga qaytib, bir nechta oddiy tenglamani ko'rib chiqaylik. Masalan, bu:
[ chap | 3x-5 o'ng | = 5-3x ]
Aslida, biz bunday tenglamani qanday echishni allaqachon bilamiz, chunki bu $ left | shaklining standart tuzilishi f chap (x o'ng) o'ng | = g chap (x o'ng) $. Ammo keling, ushbu tenglamani biroz boshqacha burchakdan ko'rib chiqaylik. Aniqrog'i, modul belgisi ostidagi iborani ko'rib chiqing. Sizga shuni eslatib o'tamanki, har qanday raqamning moduli raqamning o'ziga teng bo'lishi mumkin yoki u bu raqamga qarama-qarshi bo'lishi mumkin:
[ chap | a right | = chap < boshlanadi& a, quad a ge 0, & -a, quad a lt 0. end o'ng. ]
Aslida, bu noaniqlik butun muammodir: modul ostidagi raqam o'zgarganligi sababli (o'zgaruvchiga bog'liq), biz uchun ijobiy yoki salbiy ekanligi aniq emas.
Ammo dastlabki talab bu raqam ijobiy bo'lishi kerak bo'lsa nima bo'ladi? Masalan, biz 3x-5 gt 0 $ ni talab qilamiz - bu holda biz modulning belgisi ostida ijobiy raqamni olishimiz va biz ushbu moduldan butunlay qutulishimiz mumkin:
[3x-5 gt 0 O'ng tomonda chap | 3x-5 o'ng | = 3x-5 ]
Shunday qilib, bizning tenglamamiz osonlikcha echilishi mumkin bo'lgan chiziqli aylanishga aylanadi:
[3x-5 = 5-3x O'ng qator 6x = 10 O'ng burchak x = frak <5> <3> ]
To'g'ri, ushbu mulohazalarning barchasi faqat $ 3x-5 gt 0 $ sharti bilan maqsadga muvofiqdir - biz o'zimiz modulni aniq ochib berish uchun ushbu talabni kiritdik. Shuning uchun, topilgan $ x = frac <5> <3> $ ni ushbu shartga almashtiraylik va tekshiring:
[x = frac <5> <3> 3x-5 = 3 cdot frac <5> <3> -5 = 5-5 = 0 ]
Ko'rinadiki, $ x $ qiymati bilan bizning talabimiz bajarilmaydi, chunki ifoda nolga aylandi va biz undan noldan kattaroq bo'lishi kerak. Xafagarchilik :(
Ammo bu katta ish emas! Axir, $ 3x-5 lt 0 $ varianti hali ham mavjud. Bundan tashqari: 3x 3x-5 = 0 $ holati ham mavjud - bu ham ko'rib chiqilishi kerak, aks holda echim to'liq bo'lmaydi. Shunday qilib, 3x-5 lt 0 $ misolini ko'rib chiqing:
[3x-5 lt 0 o'ng tomon chap | 3x-5 o'ng | = 5-3x ]
Shubhasiz, modul minus belgisi bilan ochiladi. Ammo keyin g'alati bir holat yuzaga keladi: xuddi shu ibora chap va o'ng tomonda ham tenglamada aks etadi:
Qanday qilib $ 5-3x $ ifodasi $ 5-3x $ bilan $ 5-3x $ ifodasiga teng bo'ladi? Bunday tenglamalardan hatto kapitan ham tupurikni bo'g'ib qo'yishi mumkin edi, lekin biz bir narsani bilamiz: bu tenglama bu o'ziga xoslikdir, ya'ni. bu o'zgaruvchining har qanday qiymati uchun to'g'ri!
Va bu har qanday $ x $ bizga mos kelishini anglatadi. Biroq, bizning cheklovimiz bor:
[3x-5 lt 0 O'ng chiziq 3x lt 5 O'ng chiziq x lt frac <5> <3> ]
Boshqacha qilib aytganda, javob bitta raqam emas, balki butun interval:
[x in chap (- notekis, frac <5> <3> o'ng) ]
Va nihoyat, boshqa ishni ko'rib chiqish qoladi: 3x-5 = 0 $. Hammasi oddiy: modul ostida nol, nol modul ham nolga teng bo'ladi (bu to'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadi):
[3x-5 = 0 O'ng tomonda chap | 3x-5 o'ng | = 0 ]
Ammo keyin tenglama $ left | bo'ladi 3x-5 right | = 5-3x $ quyidagicha qayta yoziladi:
[0 = 3x-5 O'ng kamar 3x = 5 O'ng qator x = frak <5> <3> ]
3x-5 gt 0 $ holatini ko'rib chiqqanda biz yuqorida ushbu ildizni oldik. Bundan tashqari, ushbu ildiz $ 3,5-5 = 0 $ tenglamaga echim bo'ladi - bu biz o'zimiz modulni qayta tiklash uchun kiritgan cheklov. :)
Shunday qilib, intervaldan tashqari, biz ushbu intervalning eng oxirida yotgan raqamdan ham qoniqamiz:
Modul yordamida tenglamadagi ildizlarni birlashtirish
Umumiy yakuniy javob: $ x chapga (- infty, frac <5> <3> right] $. Modul yordamida juda oddiy (asosan chiziqli) tenglamaga javoban bunday ayyorlikni ko'rish odatiy emas) Xo'sh, ko'nikib oling: modulning murakkabligi shundan iboratki, bunday tenglamadagi javoblar mutlaqo oldindan aytib bo'lmaydigan bo'lishi mumkin.
Ikkinchisi bundan ham muhimroq: biz modulyatsiya yordamida tenglamani yechishning universal algoritmini aniqladik! Va bu algoritm quyidagi bosqichlardan iborat:
Tenglamadagi har bir modulni nolga tenglashtirish. Biz bir nechta tenglamalarni olamiz
Ushbu barcha tenglamalarni yeching va sonlar qatoriga ildizlarni belgilang. Natijada, chiziq bir necha intervallarga bo'linadi, ularning har birida barcha modullar noyob ravishda kengayadi,
Har bir interval uchun asl tenglamani yeching va olingan javoblarni birlashtiring.
Bu hammasi! Faqat bitta savol qoldi: 1-bosqichda olingan ildizlarni qaerdan olish kerak? Aytaylik, ikkita ildiz olamiz: $ x = 1 $ va $ x = 5 $. Ular raqamlar qatorini 3 qismga ajratadilar:
Nuqtalar yordamida sonli o'qni intervallarga bo'lish
Xo'sh, bu erda qanday intervallar bor? Ulardan uchtasi borligi aniq:
Chapdan: $ x lt 1 $ - birlik o'zi oraliqqa kirmaydi,
Markaziy: $ 1 le x lt 5 $ - bu vaqt oralig'ida birlik joylashgan, ammo beshtasi qo'shilmagan,
O'ngdan: $ x ge 5 $ - beshtasi faqat shu erda kiritilgan!
O'ylaymanki, siz allaqachon namunani tushungansiz. Har bir interval chap tomonni o'z ichiga oladi va o'ngni o'z ichiga olmaydi.
Bir qarashda, bunday yozuv noqulay, mantiqsiz va umuman aqldan ozgan ko'rinishi mumkin. Ammo menga ishoning: qisqa mashg'ulotdan so'ng, siz ushbu yondashuv eng ishonchli ekanligini va shu bilan birga modullarni aniq ochib berishga xalaqit bermasligini bilib olasiz. Har safar o'ylaganingizdan ko'ra, bunday sxemadan foydalanish yaxshiroq: chap yoki o'ng tomonni hozirgi oraliqqa bering yoki keyingisiga "tashlang".