Рассмотрение в курсе геометрии вопроса о взаимном расположении прямых на плоскости и в пространстве имеет очень большое значение
вполне конкретное значение параметра
Download 0.65 Mb.
|
|
вполне конкретное значение параметра :
M: Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно: M: Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения: => => Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются, то система обязательно совместна и имеет единственное решение. Из первого уравнения выразим и подставим его во второе и третье уравнение: => => Тогда: Подставим найденное значение параметра в уравнения: => => Для проверки подставим найденное значение параметра в уравнения: => => => Получены те же самые координаты, что и требовалось проверить. Ответ: M(8;-8;-8). Задача 7
Выяснить взаимное расположение прямых
Решение:
Таким образом, прямые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. 4) Исследуем направляющие векторы на коллинеарность: , следовательно, направляющие векторы не коллинеарны, и прямые пересекаются. Ответ: Задача 8 Доказать, что прямые скрещиваются. Решение: Найдём точки и направляющие векторы данных прямых: Найдём вектор: Вычислим смешанное произведение векторов: Таким образом, векторы не компланарны, а значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать. Задача 9
В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDS (с вершиной S) точка M — середина ребра SC. Постройте сечение пирамиды плоскостью ABM.
Самое главное тут — выяснить, по какой прямой секущая плоскость ABM пересекает плоскость SCD. Для этого заметим, что AB ║ CD, и по признаку параллельности прямой и плоскости имеем AB ║ SCD. А из теоремы следует тогда, что прямая MN пересечения плоскостей ABM и SCD параллельна прямой AB (и, стало быть, прямой CD). Таким образом, MN — средняя линия треугольника SCD. Сечением пирамиды будет трапеция ABMN. Ответ: трапеция ABMN. Задача 10 Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра перпендикулярны. Решение: Пусть ABCD — правильная треугольная пирамида (рис. 10). Докажем, например, что AD ⊥ BC. Пусть точка M — середина ребра BC. Рассмотрим плоскость ADM. Ясно, что высота DH нашей пирамиды лежит в этой плоскости (поскольку H лежит на медиане AM). Докажем, что прямая BC перпендикулярна плоскости ADM. Для этого нам нужно предъявить две пересекающие прямые, лежащие в плоскости ADM и перпендикулярные BC. Какие же это прямые? Рис. 11. К задаче Во-первых, это прямая DH. В самом деле, будучи высотой пирамиды, DH перпендикулярна плоскости ABC. По определению это означает, что DH перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ABC - в частности, прямой BC. Во-вторых, это прямая AM. Действительно, будучи медианой равностороннего треугольника ABC, отрезок AM является его высотой и потому перпендикулярен BC. Итак, мы убедились, что BC ⊥ DH и BC ⊥ AM. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости мы заключаем, что BC ⊥ ADM. Стало быть, BC перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ADM — в частности, прямой AD. Это мы и хотели доказать. Обратите внимание, какая схема рассуждений реализована в данной задаче. Допустим, мы хотим доказать, что прямая l перпендикулярна прямой m. Действуем следующим образом: 1. Берём подходящую плоскость р, в которой лежит прямая l. 2. В плоскости р находим две пересекающиеся прямые a и b, такие, что m ⊥ a и m ⊥ b. 3. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости делаем вывод, что m ⊥ р. 4. По определению перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая m перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости р. В частности, m ⊥ l, что и требовалось. Задача 11 Найти точку пересечения прямой и плоскости 2x-y+z+4=0. Решение: Рассмотрим взаимное расположение прямой и плоскости: 3· 2 + 2· (-1) + (-1)·1 = 3 ≠ 0, значит прямая и плоскость пересекается. Перепишем уравнение прямой в параметрическом виде: Подставим эти уравнения прямой в уравнения плоскости, найдём значение параметра t: Чтобы найти координаты точки пересечения прямой и плоскости подставим значение t в параметрические уравнения прямой: Ответ: - точка пересечения прямой и плоскости. Задача 12 Найти проекцию точки А (3;2;-1) на прямую . Решение: Составим уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно данной прямой x-3+y-2+2(z+1) = 0, x+y+2z-5=0. Найдем точку пересечения прямой и плоскости – это и будет проекция точки А, для этого перепишем уравнение прямой в параметрическом виде x=2+t, y=-3+t, z=2t, подставим в уравнение плоскости 2+t-3+t+2Ч2t-5=0, t = Получаем x=2+1=3, y=- 3+1=- 2, z=2. Ответ: (3;-2;2) Задача 13 Найти проекцию прямой на плоскость x+2y+3z+4=0. Решение: Так как проекция лежит в данной плоскости, то x+2y+3z+4=0 есть одно из уравнений проекции. Второе уравнение будет уравнением проектирующей плоскости, которая проходит через данную прямую, значит проходит через точку (3;-1;1) и компланарна вектору . Так как проектирующая плоскость перпендикулярна плоскости x+2y+3z+4=0, значит нормальный вектор будет направляющим для этой плоскости. Итак, , уравнение проектирующей плоскости =0 или Ответ: Задача 14 Выяснить взаимное расположение прямой, заданной точкой и направляющим вектором (3;-2;4), и плоскости 2x-3y-3z+12=0. Решение: Вытащим вектор нормали плоскости: (2;-3;-3). Вычислим скалярное произведение вектора нормали плоскости и направляющего вектора прямой: · = 2·2-3·(-2)-3·4=6+66-12=0, значит, прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней. Подставим координаты точки в уравнение плоскости: 2·0-3·5-3·(-1)=12=0 2·0-3·5-3·(-1)+12=0 0-15+3+12=0 0=0 Получено верное равенство, следовательно, точка лежит в данной плоскости. Разумеется, и любая точка прямой тоже будет принадлежать плоскости. Ответ: прямая лежит в плоскости. Заключение В данной курсовой работе было рассмотрено и изучено взаимное расположение прямых в пространстве, взаимное расположение прямой и плоскости. На основе изложенного материала, была рассмотрена и решена практическая часть курсовой работы: были приведены и решены конкретные задачи по теме: «Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости». Конструктивные задачи трехмерного пространства требуют как формально-логического подхода при их решении, так и знания проекционного чертежа (параллельного проектирования и его свойств). В процессе решения задач я применила пространственные представления, конструктивные навыки, в частности навыки изображения фигур на плоскости, навыки выполнения рисунков, их правильного восприятия и чтения. Цели и задачи, поставленные в данной курсовой работе, были мною выполнены. Список использованной литературы Атанасян Л.С. Аналитическая геометрия. Часть первая. Аналитическая геометрия на плоскости/ Л.С. Атанасян. - Москва; «Просвещение», 1967.- 300с. Атанасян Л.С. Аналитическая геометрия. Часть вторая. Аналитическая геометрия в пространстве/ Л.С. Атанасян. - Москва; «Просвещение», 1970.- 268с. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Часть1/ Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян.-.Москва: «Просвещение»,1973.- 256с. Атанасян Л.С., Базырев В.Т. Геометрия в 2-х частях, часть 1 /Л.С. Атанасян, В.Т. Базырев.- Москва: «Просвещение», 1986. –336с. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. Учебное пособие для студентов 1 курса физико-математических факультетов педагогических институтов/ В.Т.Базылев, К.И. Дуничев, В.П. Иваницкая.- Москва: «Просвещение», 1974. - 352с. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Издание девятое, исправленное. /Д.В. Беклемишев.- Москва: «Физматлит», 2002. - 376с. Ефимов Н.В. Высшая геометрия, 5-е издание / Н.В. Ефимов.- Москва: «Наука», 1971. - 576с. Капленко Э.Ф., Маркова С.Г. Сборник задач по геометрии. Часть II / Э.Ф. Капленко, С.Г. Маркова.- Воронеж, 2005. - 104с. 1 Капленко Э.Ф., Маркова С.Г. Сборник задач по геометрии. Часть II.Воронеж, 2005,- с.27 2 Капленко Э.Ф., Маркова С.Г. Сборник задач по геометрии. Часть II.Воронеж, 2005,-с. 54 Download 0.65 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|