В разделе 7 мы видели, что нулевые моменты функции ψ

2.9. Койфлеты
В разделе 2.7 мы видели, что нулевые моменты функции ψ(x) приводят к убыванию вейвлет-коэффициентов d_jk = (f, ψ_jk) с ростом j там, где функция гладкая. Однако это не касается коэффициентов a_jk = (f, ϕ_jk). Если потребовать выполнения следующих нулевых моментов:
(1)
тогда можно применить те же рассуждения (см. раздел 2.7), связанные с разложением по формуле Тейлора. А именно, раскладывая f(x) по формуле Тейлора

в окрестности точки x₀, принадлежащей носителю функции ϕ_jk(x), вследствие (1) получаем

В последнем равенстве мы считаем, что жим, что носитель функции ϕ(x) сосредоточен вблизи точки x₀ = 0. Тогда носитель функции сосредоточен вблизи точки x_j,k = k/2^j и будет в 2^j раз у' же, чем носитель ϕ(x). Поэтому для нахождения коэффициента a_jk = (f, ϕ_jk) следует брать разложение по формуле Тейлора в окрестности точки x₀ = x_j,k = k/2^j. Тогда при больших J для гладкой функции f(x) мы имеем приближенное равенство

(2)
Последнее дает эффективное правило для перехода от выборки, представляющей f(x), к коэффициентам cA₀ мелкого масштаба. Поэтому важно иметь не только нулевые моменты функции ψ(x), но и функции ϕ(x). Поскольку вопрос о таких функциях поставлен впервые Р. Койфманом, то подобные вейвлеты называются койфлетами.
Нашей целью является нахождение таких функций ψ(x) и ϕ(x) с компактными носителями, что


(3)
(4)

Число N называется порядком койфлета. Как мы видели ранее, Койфлеты

свойства (3) и (4) эквивалентны таким:

Их условий (5) и теоремы 3 раздела 2.7 следует, что для койфлетов с компактным носителем функция H₀(ω) имеет вид

(7)
где T(ω) является тригонометрическим полиномом.
Из масштабирующего уравнения и из (6) следует, что

H₀(0) = 1, H₀^(k)(0) = 0, k = 1, …, N – 1. (8)

Это означает, что функция H₀(ω) – 1 имеет в точке ω = 0 нуль порядка N. Полагая z = e^–iω, получаем, что в z-представлении функция H₀(ω) имеет в точке z = 1 нуль порядка N.

Поэтому H₀(z) – 1 = = (1 – z)^N–1S(z) и H₀(ω) = 1 + (1 – e^–iω)^NS(ω), (9)
где S(ω) есть тригонометрический полином. Кроме того, должно еще выполняться равенство
|H₀(ω)|² + |H₀(ω + π)|² = 1. (10)
Построение койфлетов использует, как и в случае вейвлетов Добеши, теорему Безу. Рассмотрим для простоты случай четного N = 2K. Поскольку

то из (7) и (9) получаем

(cos²ω/2)^KP₁(ω) = 1 + (sinω/2)^KP₂(ω), (11)

где P₁(ω) и P₂(ω) – тригонометрические полиномы. Они могут быть найдены по теореме Безу, как в разделе 2.8.1. В частности, P₁(ω) имеет вид

(12)

где R(ω) – произвольный тригонометрический полином. Этот произвол будет использоваться для удовлетворения нужного тождества (10). Полагая

и подставляя
H₀(ω) = ((1 + e^–iω)/2)^2KP₁(ω)

в соотношение (10), получаем систему квадратных уравнений на неопределенные коэффициенты R_n. Подробнее об этом см. в книге [Дб].

Замечание. Вейвлеты с частотной функцией вида


где P₁(ω) имеет вид (12), называются койфлетами порядка K. Отметим, что койфлеты несимметричны, но значительно симметричнее вейвлетов Добеши и кроме нулевых N = 2K моментов (3) и (4) имеют длину носителя 6K – 1.

Рис. 2.9.1. Графики койфлетов coif1