Ratsional sonlarni cheksiz o'nli kasr shaklida tasvirlash

Ratsional sonlarni cheksiz o'nli
kasr shaklida tasvirlash
Agar ular qator nazariyasini bilsalar, u holda hech qanday metamatik tushunchalarni kiritish mumkin emas. Bundan tashqari, bu odamlar hamma joyda foydalanmaydiganlar johil ekanligiga ishonishadi. Keling, bu odamlarning fikrlarini vijdonlariga qoldiraylik. Keling, cheksiz davriy kasr nimaligini va u bilan qanday munosabatda bo'lishni biz, cheksizlarni bilmaydigan, o'qimagan odamlar uchun yaxshiroq tushunaylik.
237 ni 5 ga bo'ling. Yo'q, Kalkulyatorni ishga tushirishingiz shart emas. Keling, o'rta (yoki hatto boshlang'ich) maktabni eslaylik va shunchaki ustunga bo'ling:
Xo'sh, esingizdami? Shunda siz biznes bilan shug'ullanishingiz mumkin.
Matematikada "kasr" tushunchasi ikki ma'noga ega:

1. To'liq bo'lmagan raqam.

   
   

2. To'liq bo'lmagan yozuv.

   
   

Kasrlarning ikki turi mavjud - ma'noda, butun sonlarni yozishning ikki shakli:

1. Oddiy (yoki vertikal) 1/2 yoki 237/5 kabi kasrlar.

   
   

2. 0,5 yoki 47,4 kabi o'nlik kasrlar.

   
   

E'tibor bering, umuman olganda, kasr-yozuvidan foydalanish yozilgan narsa kasr sonini anglatmaydi, masalan 3/3 yoki 7.0 - so'zning birinchi ma'nosida kasrlar emas, balki ikkinchisida, albatta, kasrlar.
Matematikada, umuman olganda, qadimgi davrlardan boshlab o'nlik sanash qabul qilingan va shuning uchun kasr kasrlari oddiylarga qaraganda qulayroq, ya'ni kasr kasrli kasr (Vladimir Dal. Tirik Buyuk rus tilining izohli lug'ati "). O'n ").
Agar shunday bo'lsa, men har qanday vertikal kasrni o'nli ("gorizontal") qilishni xohlayman. Va buning uchun faqat raqamni maxrajga bo'lish kerak. Masalan, 1/3 kasrni oling va undan o'nli kasr yasashga harakat qiling.

Hatto umuman o'qimagan odam ham buni sezadi: ular qancha bo'linmasin, ular bo'linmaydilar: shuning uchun uch egizaklar cheksiz ravishda paydo bo'ladi. Shunday qilib biz quyidagilarni yozamiz: 0.33 ... Biz bu erda "1 ni 3 ga ajratganda olinadigan raqam" yoki qisqacha qilib aytganda "uchdan bir qismini" nazarda tutamiz. Tabiiyki, uchdan bir qismi so'zning birinchi ma'nosidagi kasr va "1/3" va "0,33 ..." so'zning ikkinchi ma'nosidagi kasrlar, ya'ni yozuv shakllari raqamlar qatorida noldan shunday masofada joylashganki, agar siz uni uch marta qoldirsangiz, bitta olasiz.
Endi 5ni 6 ga bo'lishga harakat qilaylik:

Shunga qaramay, yozib qo'ying: 0.833 ... Biz "5ni 6 ga bo'linishda olinadigan raqam" yoki qisqasi "besh oltidan" degan ma'noni anglatadi. Biroq, bu erda chalkashliklar paydo bo'ladi: men 0.83333 (va keyin uchlik takrorlanadi) yoki 0.833833 (va keyin 833 takrorlanadi) demoqchiman. Shuning uchun, ellipslar bilan yozuv bizga mos kelmaydi: takrorlanadigan qism qaerdan boshlanishi aniq emas (u "davr" deb nomlanadi). Shuning uchun biz davrni quyidagicha qavs ichida qabul qilamiz: 0, (3); 0,8 (3).
0, (3) oson emas teng darajada uchdan biri u yerda uchdan biri, chunki biz ushbu raqamni o'nli kasr sifatida ko'rsatish uchun ushbu yozuvni maxsus ixtiro qildik.
Ushbu yozuv deyiladi cheksiz davriy kasr yoki faqat davriy kasr.
Qachonki biz bir sonni boshqasiga ajratsak, agar cheklangan kasr olinmasa, unda cheksiz davriy kasr olinadi, ya'ni bir kun raqamlar ketma-ketligi takrorlana boshlaydi. Nega bunday bo'lishini uzoq bo'linish algoritmiga diqqat bilan qarab, shunchaki spekulyativ tarzda tushunish mumkin:

Belgilangan joylarda har doim turli xil juft juftlarni olish mumkin emas (chunki, asosan, bunday juftlarning cheklangan to'plami mavjud). Va u erda allaqachon mavjud bo'lgan bunday juftlik paydo bo'lishi bilanoq, farq ham bir xil bo'ladi - keyin butun jarayon o'zini takrorlashni boshlaydi. Buni tekshirishga hojat yo'q, chunki xuddi shu amallarni takrorlasangiz, natijalar bir xil bo'lishi aniq.
Endi biz yaxshi tushunamiz mohiyati davriy kasr, keling, uchdan birini uchga ko'paytirishga harakat qilaylik. Ha, biz, albatta, bittasini olamiz, lekin keling, bu kasrni o'nli shaklda yozamiz va uni ustunda ko'paytiramiz (bu erda ellipsiya sababli noaniqlik yo'q, chunki kasrdan keyingi barcha raqamlar bir xil):

Va yana shuni ta'kidlaymizki, o'nlik punktdan keyin har doim to'qqiz, to'qqiz va to'qqizinchi marta paydo bo'ladi. Ya'ni, teskari ravishda qavs yozuvidan foydalanib, 0, (9) ga egamiz. Uchdan bir va uchning ko'paytmasi bitta ekanligini bilganimiz uchun, 0, (9) bittasi uchun juda g'alati belgidir. Shu bilan birga, yozuvning ushbu shaklidan foydalanish maqsadga muvofiq emas, chunki birlik nuqta ishlatmasdan mukammal yozilgan, masalan: 1.
Ko'rib turganingizdek, 0, (9) - bu 3/3 yoki 7.0 kabi butun son kasr shaklida yozilgan holatlardan biri. Ya'ni, 0, (9) so'zning faqat ikkinchi ma'nosida kasr, lekin birinchi qismida emas.
Shunday qilib, biz hech qanday chegara va ketma-ketliklarsiz, 0, (9) nima ekanligini va u bilan qanday kurashish kerakligini aniqladik.
Ammo shunga qaramay, aslida biz aqlli va tahlilni o'rganganimizni eslaylik. Darhaqiqat, buni inkor etish qiyin:

Ammo, ehtimol, hech kim haqiqat bilan bahslashmaydi:


Bularning barchasi, albatta, haqiqatdir. Darhaqiqat, 0, (9) ham kamaytirilgan qatorning yig'indisi, ham ko'rsatilgan burchakning ikki barobar sinusi va Eyler sonining tabiiy logarifmi hisoblanadi.
Ammo na na boshqasi, na uchinchisi ta'rif emas.
0, (9) cheksiz 9 / (10 n) qatorning yig'indisi, n dan birlik uchun, sinus cheksiz Teylor qatorining yig'indisi ekanligini tasdiqlash bilan bir xil:

u juda to'gri, va bu hisoblash matematikasi uchun eng muhim fakt, ammo bu ta'rif emas va eng muhimi, bu odamni tushunishga yaqinlashtirmaydi mohiyat sinus. Muayyan burchak sinusining mohiyati shundan iborat faqat qarama-qarshi oyoq burchagining gipotenuzaga nisbati.
O'rdak, davriy qism faqat qachon olingan o'nlik kasr uzoq bo'linish bir xil raqamlar to'plami takrorlanadi. Bu erda tahlilning izi yo'q.
Va bu erda savol tug'iladi: qaerda umuman biz 0, (9) raqamini oldikmi? Uni olish uchun ustunga nimani ajratamiz? Darhaqiqat, bunday raqamlar yo'q, bir-birlarini ustun bilan ajratganda, biz to'qqizta cheksiz ko'rinishga ega bo'lamiz. Ammo biz 0, (3) ustunni 3 ga ko'paytirib, bu raqamni olishga muvaffaq bo'ldikmi? Uncha emas. Axir, raqamlarning o'tkazilishini to'g'ri hisobga olish uchun siz o'ngdan chapga ko'paytirishingiz kerak va biz buni chapdan o'ngga qildik, bu pul o'tkazmalari baribir hech qaerda ko'rinmasligidan foydalanib. Shuning uchun 0, (9) yozuvining qonuniyligi biz bunday ko'paytmaning qonuniyligini ustunda tan olishimiz yoki qilmasligimizga bog'liq.
Shuning uchun biz odatda 0, (9) yozuvi noto'g'ri - va ma'lum darajada to'g'ri deb ayta olamiz. Biroq, a, (b) yozuvi qabul qilinganligi sababli, b = 9 bo'lganda uni tark etish shunchaki xunuk; bunday yozuv nimani anglatishini hal qilish yaxshiroqdir. Shunday qilib, biz 0, (9) yozuvlarini umuman qabul qilsak, u holda bu yozuv albatta birinchi raqamni bildiradi.
Agar biz, masalan, uchlik sanoq sistemasidan foydalansak, unda bitta (1 3) ustunga uchga (10 3) bo'linishda 0,1 3 ("nolinchi nuqta uchdan bir qism" deb o'qiladi) bo'ladi, va ikkitasini ajratishda 0, (1) 3 bo'ladi.
Demak, kasr-yozuvning chastotasi kasr sonining ob'ektiv xarakteristikasi emas, balki u yoki bu sanoq tizimidan foydalanishning yon ta'siridir.
Ma'lumki, agar maxraji bo'lsa P Kanonik kengayishdagi kamaytirilmaydigan kasrning asosiy koeffitsienti 2 va 5 ga teng emas, keyin bu kasrni chekli o'nli kasr sifatida ko'rsatish mumkin emas. Agar bu holda biz kamaytirilmaydigan asl kasrni raqamni ajratuvchiga bo'linib, o'nli kasr shaklida yozishga harakat qilsak, u holda bo'linish jarayoni tugata olmaydi, chunki uni cheklangan sonli bosqichda bajargan taqdirda, biz ilgari isbotlangan teoremaga zid keladigan sonli o'nlik kasrni olamiz. Shunday qilib, bu holda, musbat ratsional sonning kasr belgisi lekin= cheksiz kasr sifatida ifodalanadi.
Masalan, kasr = 0.3636 .... 4 ga 11 ga bo'linishda qoldiqlarning vaqti-vaqti bilan takrorlanishini ko'rish oson, shuning uchun o'nli kasrlar vaqti-vaqti bilan takrorlanadi, ya'ni. chiqadi cheksiz davriy o'nlik, 0 shaklida yozilishi mumkin (36).
Vaqti-vaqti bilan takrorlanadigan 3 va 6 raqamlari nuqta hosil qiladi. Ma'lum bo'lishicha, vergul bilan birinchi davr boshlanishi o'rtasida bir nechta raqamlar mavjud. Ushbu raqamlar oldingi davrni tashkil qiladi. Masalan,
0.1931818 ... 17 ni 88 ga bo'lish jarayoni cheksizdir. 1, 9, 3 raqamlari oldingi davrni tashkil qiladi; 1, 8 - davr. Biz ko'rib chiqqan misollar naqshni aks ettiradi, ya'ni. har qanday ijobiy ratsional son cheklangan yoki cheksiz davriy o'nlik kasr bilan ifodalanishi mumkin.