Разова­ние Процесс формирования навыков тождественных преобразований

4.4. Доказательство тождеств
В процессе обучения у учащихся должны быть сформированы навыки до­казательства тождеств следующими способами.
Если надо доказать, что А=В, то можно
1. доказать, что А - В = О,
2.доказать, что А/В = 1,
3. преобразовать А к виду В,
4. преобразовать В к виду А,
5. преобразовать А и В к одному виду С.
В качестве опоры, на которой строятся доказательства тождеств, исполь­зуются свойства арифметических операций. Иногда в доказательстве привлека­ются геометрические понятия и методы. Геометрические доказательства не только поучительны и наглядны, но и способствуют усилению межпредметных связей.
Доказательства тождеств можно разделить на три типа в зависимости от того, насколько они удовлетворяют требованиям строгости:
а) Не полностью строгие рассуждения, требующие использования метода математической индукции для придания им полной строгости. Эти доказательства применяются для вывода правила действий с многочленами, свойств степе­ней с натуральными показателями. Например,
а^ка^р = (а ·а·······а) (а ·а········а) = а ·а········а = а^к+р
к раз р раз к+р раз
б) Полностью строгие рассуждения, опирающиеся на основные свойства арифметических действий и не использующие других свойств числовой системы. Основная область применения таких доказательств - тождества сокращенного ум­ножения. Многие из утверждений, выражаемых формулами сокращенного умно­жжения, допускают наглядно-геометрическую иллюстрацию.
Пример Для тождества учитель может предложить следующую иллюстрацию:

	a	b	c
a	a^2	ab	ac
b	ab	b^2	bc
c	ac	bc	c^2

в) Полностью строгие рассуждения, использующие условия разрешимости уравнений вида Ψ(х) = а, где Ψ - изучаемая элементарная функция. Такие доказа­тельства характерны для вывода свойств степени с рациональным показателем и логарифмической функции. Например, при доказательстве свойства арифметиче­ского корня
(1)
будем опираться на переформулировку определения арифметического квадратного корня: для неотрицательных чисел х и у равенства у = и
у² = х равносильны, поэтому (1) равносильно ( )² = ( )² (2). Откуда следует, а в = ( )²( )² = а в.
Прием доказательства, который здесь использовался, применяется довольно редко, тем не менее, необходимо подчеркнуть, что основная идея доказательства состоит в сопоставлении двух операций (или функций) - прямой и обратной к ней, что найдет применение уже в старшей школе.

Технологическая цепочка формирования алгоритмов и приемов
тождественных преобразований выражений в основной школе

Линия	Алгоритм и приемы вычислений