Referat differensial tenglamalarning geologiyada qo’llanilishi

§2. Eng sodda birinchi tartibli differensial tenglamalar.

yў=f(x), (1)
ko„rinishdagi tenglamalarga eng sodda birinchi tartibli differensial tenglamalar deyiladi, bu yerda f(x) xОX oraliqda aniqlangan, berilgan uzluksiz funksiya.

Agar
_{y / =} dy
dx
ekanligini e‟tiborga olsak, (1) tenglamani dy=f(x)dx ko„rinishda yozib

olamiz. Bu tenglikni har ikkala qismini integrallasak _т dy = _т f (x)dx
va aniqmas integralni

xossasiga asosan
y = _т f (x)dx
ga ega bo„lamiz. Agar f(x) funksiyaning boshlang‟ich

funksiyalaridan birini F(x) desak, (1) tenglamani izlanayotgan umumiy yechimi quyidagi shaklda
bo„ladi:

y = _т f (x)dx = F(x)+ C,
(2)

bu yerda C=const. Demak, (1) tenglamani umumiy yechimi f(x) funksiyaning barcha
boshlang‟ich funksiyalaridan iborat bo‟lar ekan.
Agar
y(x_o)=y₀ , (3)
boshlangich shart berilgan bo„lsa, C o„zgarmasni aniq qiymаtini hisoblab (1) tenglamani hususiy yechimini topish mumkin, bu yerda x₀ОX, y₀- aniq son. (1) tenglamani (3) boshlangich shartni qanoatlantiruvchi hususiy yechimini ko„pincha aniq integral ko„rinishida yozish qo‟lay bo„ladi. Darhaqiqat, boshlangich funksiyani quyi chegarasi tayinlangan, yuqori chegarasi o„zgaruvchi bo„lgan aniq integral ko„rinishida
x

y = _т f (t)dt + C,
x_o
(4)

yozish mumkin. x=x₀ da bu integral nolga aylanadi va y(x₀)=y₀=C bundan C= y₀ bo„lib, (1) ni (3) boshlangich shartni qanoatlantiruvchi hususiy yechimi ushbu ko„rinishida bo‟ladi:
x

y = у₀ + _т f (t)dt
x_o
(5)

(5) dan agar x=x₀ bo‟lsa, darxol y(x₀)=y₀, ya‟ni (3) boshlang‟ich shartni bajarilishi kelib
x

chiqadi. Agar
( _т f (t)dt)^/ =

х
x_o
f (x) tenglikni o‟rinli ekanligini e‟tiborga olsak, (5) tenglik bilan

aniqlanuvchi y funksiya (1) tenglamani qanoatlantirishini ham ko„rsatish mumkin, ya‟ni (5) ni har ikkala tomonidan x bo„yicha hosila olsak:

х

0
у ^/ = ( у + _т
х_о
f (t)dt) ^/
х
= ( y₀
х
)^/ + ( _т
х_о
f (t)dt)^'
= 0 + f (x) =