Referat differensial tenglamalarning geologiyada qo’llanilishi
-usul. Ixtiyoriy o’zgarmasni varitsiyalash usuli ( Lagranj usuli)
Download 0.58 Mb.
|
Differensial tenglamalar1
2-usul. Ixtiyoriy o’zgarmasni varitsiyalash usuli ( Lagranj usuli).Bir jinsli bo‟lmagan (1) tenglamaning (b(x)№0) yechimini topish uchun dastavval unga mos bir jinsli (b(x)=0): dy + а(x) y = 0, dx (11) tenglamani yechamiz, bu tenglama esa o‟zgaruvchilari ajraladigan tenglamadan iboratdir. Uning umumiy yechimi ( (5), (6) ga qarang): -т a( х)dх у = Сe , (12) Ravshanki, C – ixtiyoriy o‟zgarmasni o‟z ichiga olgan (12) tenglik bilan aniqlanuvchi funksiya (1) tenglamani yechimi bo‟la olmaydi, chunki (1) ni chap tomoniga (12) ni va uni hosilasini qoysak (11) ga asosan nolga aylanadi, ammo o‟ng tomoni b(x) nolga teng emas, agarda C o‟zgarmasni x ning biror C=C(x) funksiyasi deb qaraydigan bo‟lsak, -т a( х)dх у = С(х)e , (13) funksiya C(x) ni tanlab olish hisobidan (1) tenglamani yechimi bo‟lishi mumkin. (13) funksiyani (1) tenglamani yechimiga aylantiruvchi noma‟lum C(x) funksiyani topish uchun (13) funksiyani hosilasini hisoblaymiz: du = dС( x) Ч e-т a( х)dх - С(x)e-т a( х)dх , (14) dx dx va (14) ni (1) tenglamaga qo‟ysak: dС(x) Ч e-т a( х)dх - С(x)a(x)e-т a( х)dх + a(x)С(x)e-т a( х)dх = b(x) dx yoki dС(x) Ч e-т a( х)dх = b(x), dx (15) o‟zgaruvchilari ajraladigan va C(x) noma‟lum funksiyali differensial tenglamaga ega bo‟lamiz: (15) ni umumiy yechimi: 1 С(x) = тb(x)eт a( х)dх dx + C , C1=const (16) C(x) ning topilgan ifodasini (13) tenglikka qo‟yib, (1) tenglamaning izlanayotgan umumiy yechimini yana (9) ko‟rinishda hosil qilamiz: кт т й a( x)dx у = e л b(x)eт a( x)dxdx + C щ 1 ъы Bu usulning nomi ixtiyoriy o‟zgarmas C ni x o‟zgaruvchining C(x) funksiyasi deb o‟zgartirganimizdan (ya‟ni, uni variatsiyalaganimizdan) kelib chiqqan. 1-misol: yў-yctgx=2sinx chiziqli tenglamani ixtiyoriy o„zgarmasni variatsiyalash usuli bilan umumiy yechimini toping. Yechish: Dastlab, chiziqli bir jinsli yў-yctgx=0 tenglamaning umumiy yechimini topamiz. O‟zgaruvchilarni ajratsak: Bu tenglamani integrallab: dу - ctgxdx = 0, y y№0, x№kp, kОZ. ln y - ln sin x = ln С va bundan y=CЧsinx. Endi C=C(x) deb, C ni variatsiyalaymiz. y= C(x) sinx va dy = dC(x) sin x + C(x) cos x. dx dx Natijada y va dy larning ifodalarini berilgan tenglamaga qo‟ysak: dx dС(x) sin x + C(x) cos x - C(x) sin xctgx = 2sin x, dx Yoki dC(x)=2dx, bundan esa C(x)=2x+C1, C1=const. Bir jinsli tenglamaning yechimidagi C(x) ning o‟rniga topilgan ifodasini qo‟yib, berilgan tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz: y=(2x+C1)sinx. 2-misol: dy - 2 у = x2 , (x № 0) tenglamani yeching. dx x Yechish. Bu tеnlаmаni yеchishdа to‟g‟ridan-to‟g‟ri (9) formuladan foydalanib yechamiz: a(x) = - 2 , x b(x) = x2 2 dx ж 2 dx ц 2 ln x ж -2ln x ц x т у = e з C + т x 2 e т x з 1 и dx ч = e ч ш з 2 з C1 + т x e з ц 2 2 3 2 и ч dx ч = ч ш Demak, 2 ж 2 2 1 = x з C1 + т x Ч и 1 y = x3 + C x2. dx ч = x (C1 + т dx)= x (C1 + x)= x + C1x x ш 3-misol. §1 ni 20-punktida hosil qilingan y ' - 2 x y = - 6 x 2 tenglamaning yechini keltiramiz. Bu tenglama birinchi tartibli chiziqli va uni yuqoridagi usul bilan integrallaymiz. Dastlab ozod hadsiz bir jinsli tenglamani qaraymiz: y ' = 2 y . O‟zgaruvchilarni ajratib va integrallab x dy = 2dx Ю ln y = 2 ln x + ln C Ю y = Cx 2 . y x Endi C=C(x) deb, C ni variatsiyalaymiz va berilgan tenglamaning yechimini y=C(x)x2ko‟rinishda izlaymiz, bu yerda C(x) hozircha noma‟lum funksiya. Natijada y' = C'(x)x2 + 2xC(x) va y ni berilgan tenglamaga qo‟ysak: C'(x)x2 + 2xC(x) - 2 C(x)x2 = - 6 x x2 bundan C'(x) = - 6 x 4 bo‟ladi. Integrallab C(x) = 2 x3 + C1 , (C = const) ni hosil qilamiz. C(x) o‟rniga topilgan ifodasini qo‟yib, umumiy yechimini hosil qilamiz: y = C(x)x2 = 2 + C x 2 yoki xy = C x3 + 2 masala shartiga ko‟ra, egri chiziq M (1;2) nuqta x 1 1 0 orqali o‟tishi kerak bo‟ladi, buni e‟tiborga olsak: 1Ч 2 = С 13 + 2 , bundan esa C1 = 0 va 1 izlanayotgan yechim (egri chiziq) xy=2 ko‟rinishdagi giperboladan iborat bo‟ladi. §4. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar.10.Eng sodda ikkinchi tartibli differensial tenglamalar. y"=f(x), (1) ko‟rinishdagi tenglamalarga eng sodda, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar deyiladi, bu yerda f(x) funksiya xОX oraliqda berilgan, uzluksiz funksiya. Bunday tenglamalarni у / = dy = p, dx (2) ya‟ni, x ning yangi noma‟lum funksiyasini kiritish usuli bilan yechiladi. (2) tenglikdan hosila olsak, Bundan у // = dр = dx f (x), dр = dx f (x), (3) p noma‟lum funksiyaga nisbatan sodda birinchi tartibli tenglamaga ega bo‟lamiz. (3) ni integrallasak: р = т f (x)dx = F(x) + C1 , bo‟ladi, bu yerda F(x) funksiya f(x) ning biror boshlang‟ich funksiyasi, C1 – ixtiyoriy o‟zgarmas haqiqiy son. (2) tenglikka ko„ra dy = F (x) + C1 , dx (4) yana eng sodda birinchi tartibli tenglamani hosil qilamiz, uni integrallasak: y = т[F(x) + C1 ]dx + C2 = т F(x)dx + C1 т dx + C2 = = Ф(x) + C1 Ч x + C2 , bu yerda Ф(x) funksiya F(x) ning boshlangich funksiyalaridan biri, С2 esa ikkinchi ixtiyoriy o‟zgarmas son. (5) Shunday qilib, (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi (5) tenglik bilan aniqlanadi. (1) tenglamaning biror xususiy yechimini topish uchun С1 va С2 o„zgarmaslarni qiymatlari aniq bo„lishi lozim, buning uchun boshlangich shartlar qo‟yidagicha beriladi: x=x0 da y(x0)=y0, yў(x0)= y0ў, bu yerda x0ОX, tayin son, y0, y0ў lar ham berilgan aniq sonlar. 2 Misol: y"=1+2x tenglamani y(0)=1 va yў(0)=-1 boshlang‟ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping. Yechish: (2) ga asosan р = т(1 + 2х)dx + C1 = х + x + C1 , yoki dy = x + x 2 dx + C1 . Bu tenglamani yana bir marta integrallab: у = т ( х + х2 + C ) x2 1 dx + C2 = x3 + + C1 х + C2 , umumiy yechimini topamiz. 2 3 Endi xususiy yechimni topish uchun ж x2 x3 ц у(0) = 1 = зз + и 2 + C1 х + C2 чч х=0 =C2 3 ш 1 у / (0) = -1 = (х + х2 + C ) х=0 =C1 tengliklardan C2=1 va C1=-1 larni topib, umumiy yechimdan: у = x + x - х + 1 izlangan xususiy yechimni hosil qilamiz. 2 3 2 3 berilgan tenglamani va shuningdek y(0)=1, yў(0)=-1 berilgan boshlang‟ich shartlarni ham qanoatlantirishi kelib chiqadi. Izoh. Ba‟zi bir 2-tartibli tenglamalarni yechishda (2) y' = dy = p almashtirishdagi p yangi no‟malum funksiyasi x ning funksiyasi emas, dx balkim y ning funksiyasi deb olishga to‟g‟ri keladi: tartibli hosila uchun y' = dy = p = p( y) . U holda ikkinchi dx dx dy dx dy dx Endi konkret misolga murojat etamiz. Misol. y'' = 2 yy tenglamani yeching. Yechilishi: y' = p, y'' = p dp , ni e‟tiborga olsak: dy p dp = 2 yp . Agar p=0 bo‟lsa, (2) dan dy y' = 0, y = C = const yechimini topamiz. p № 0 bo‟lsa dp = 2 y dy Ю dp = 2 ydy, т dp = 2т ydy + C, p = y 2 + C 2 , (C =C 2 ) Natijada y' = p ga 1 1 asosan ushbu birinchi tartibli tenglamaga kelamiz: y' = y 2 + C 2 Ю dy = y 2 +C 2 Ю dy = dx Ю 1 1 dx 1 y 2 +C 2 1 arctg y C1 C1 = x + C Ю arctg y C1 = C1x + C2, (C2 = C1 Ч C ) umumiy yechiumni hosil qilamiz, bu yerda C1 ,C2 - ixtiyoriy o‟zgarmaslar. y Javob. y=C va arctg C1 2.0O’zgarmas koeffisiyentli ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar. O„zgarmas koeffisiyentli ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglama deb у // + ру / + qy = 0, (1) ko„rinishdagi tenglamaga aytiladi, bu yerda p va q lar o„zgarmas haqiqiy sonlar. (1) tenglamaning yechimlarini sodda xossalarini xarakterlovchi ushbu teoremalar bilan tanishamiz. teorema. Agar y1=y1(x), xОX, (1) tenglamaning yechimi bo‟lsa, u holda y=Cy1 (C- biror o„zgarmas son) funksiya ham (1) ni yechimi bo„ladi. Isboti: y=Cy1 ni birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini hisoblaymiz: 1 1 1 qo„ysak, // / // / Су1 pCy1 + qCy1 = C( у1 pу1 + qу1 ) = 0 , (2) // / Teorema shartiga ko‟ra y=y1 (1) tenglamani yechimi: у1 + pу1 + qу1 = 0 bo‟lganligi uchun (2) tenglik 0є0 ayniyatga aylanadi, bundan esa y=Cy1 funksiya (1) ni yechimi ekanligi kelib chiqadi. teorema. Agar y=y1(x) va y=y2(x) xОX funksiyalar (1) tenglamaning yechimlari bo„lsa, u holda y=y1+ y2 yigindi ham (1) ni yechimi bo„ladi. teoremaning isbotini 1-teoremaniki kabi ko‟rsatish mumkin. y=y1(x) va y=y2(x) yechimlarga (1) tenglamaning xususiy yechimlari deyiladi. (1) tenglamaning xususiy yechimlari o‟zaro chiziqli erkli va o‟zaro chiziqli bog‟liq yechimlarga ajraladi. Ta‟rif. (1) tenglamaning ikkita xususiy yechimini biri ikkinchisini biror o‟zgarmas songa ko‟paytirishdan hosil bo‟lsa, bunday yechimlar o‟zaro chiziqli bog‟liq deyiladi, aks holda bu yechimlar o‟zaro chiziqli erkli deyiladi. Masalan, |
