Реферат эвклидова геометрия

РЕФЕРАТ
Эвклидова геометрия

Студентка Федотова Татьяна
курс, 113-2 ЗДО группа
Проверила Тухватулина Л.Ф.
Нижневартовск 2014
Содержание


1. Общие сведения о Эвклиде
2. Аксиоматика
. Постулаты Эвклида
. Аксиомы Эвклидовой геометрии
Список литературы


1. Общие сведения о Эвклиде


Евклид или Эвклид (греч. «добрая слава», ок. 300 г. до н. э.) - древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Эвклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 в. до н. э. [1]
Эвклид - первый математик Александрийской школы. Его главная работа «Начала» содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из других сочинений по математике надо отметить «О делении фигур», сохранившееся в арабском переводе, 4 книги «Конические сечения», материал которых вошёл в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Эвклид - автор работ по астрономии, оптике, музыке и др. [2]
эвклид геометрия аксиома постулат
2. Аксиоматика


Аксиомы эвклидовой геометрии, сформулированные в III-IV веке до н. э., составляли основу геометрии до второй половины XIX века, так как хорошо описывали физическое пространство и отождествлялись с ним. [1]
Пяти постулатов Эвклида было недостаточно для полного описания геометрии и в 1899 году Гильберт предложил свою систему аксиом. Гильберт разделил аксиомы на несколько групп: аксиомы принадлежности, конгруэнтности, непрерывности (в том числе аксиома Архимеда), полноты и параллельности. Позднее Шур заменил аксиомы конгруэнтности аксиомами движения, а вместо аксиомы полноты стали использовать аксиому Кантора. Система аксиом Эвклидовой геометрии позволяет доказать все известные школьные теоремы [3].
Существуют и другие системы аксиом, в основе которых, помимо точки, прямой и плоскости, лежит не движение, а конгруэнтность, как у Гильберта, или расстояние, как у Кагана. Другая система аксиом связана с понятием вектора. Все они выводятся одна из другой, то есть аксиомы в одной системе можно доказать как теоремы в другой [4].
Для доказательства непротиворечивости и полноты аксиом Эвклидовой геометрии строят её арифметическая модель и показывают, что любая модель изоморфна арифметической, а значит они изоморфны между собой [4]. Независимость аксиом Эвклидовой геометрии показать сложнее из-за большого количества аксиом. Аксиома параллельности не зависит от других, так как на противоположном утверждении строится геометрия Лобачевского. Аналогично была показана независимость аксиомы Архимеда (в качестве координат вместо тройки вещественных чисел используется тройка комплексных чисел), аксиомы Кантора (в качестве координат вместо тройки любых вещественных чисел используются вещественные числа, построенные определённым образом), а также одной из аксиом принадлежности, которая фактически определяет размерность пространства (вместо трёхмерного пространства можно построить четырёхмерное, и любое многомерное пространство с конечным числом измерений) [5].