Referat mavzu. Determinantlar toshkent 2016 mavzu. Determinantlar reja

OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

TOSHKENT ARXITEKTURA QURILISH INSTITUTI

MATEMATIKA VA TABIIY FANLAR KAFEDRASI

REFERAT

MAVZU. DETERMINANTLAR

TOSHKENT 2016

MAVZU. DETERMINANTLAR

Reja:

1. 
   Ikkinchi va uchunchi tartibli determinantlar
   
2. 
   n - tartibli determinant tushunchasi
   
3. 
   Determinantlarni xossalari va ularni hisoblash
   

Determinant tushunchasidan dastlab chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda foydalanilgan bo‘lib, keyinchalik determinantlar matematikaning bir qancha masalalarini yechishga, jumladan xos sonlarni topishga, differensial tenglamalarni yechishga, vektor hisobiga, keng tatbiq etildi ³.

1. 
   Ikkinchi va uchunchi tartibli determinantlar
   

Ikkinchi tartibli determinant


det A =


^a11


^a12


^a21


^a22


^a11^a22


- ^a12^a21


(1.2.1)

kabi belgilanadi va aniqlanadi.

a , a , a ,a sonlarga determinantning elementlari deyiladi. Bunda a ,a

1. 
   satr, a_n,a₂₂ 2-satr, ai,a_n 1-ustun va a₁₂,a₂₂ 2-ustun elementlari hisoblanadi, ya’ni a determinantning i -satr va j - ustunda joylashgan elementini ifodalaydi.
   

a!,a₂₂ elementlar joylashgan diagonalga determinantning bosh diagonali,

a , a elementlar joylashgan diagonalga determinantning yordamchi diagonali deyiladi.

Shunday qilib, ikkinchi tartibli determinant bosh diagonal elementlari ko‘paytmasidan yordamchi diagonal elementlari ko‘paytmasini ayrilganiga teng:


2.1-misol.

determinantlarni

^a11	^a12		^a<1	^a12		^a1y	^a12
^a21	a22		^a21	a22		^a21	a22

Berilgan hisoblang.

1.

2.


tga
sina


sina

ctga


= tga ■ ctga - sin a sin a = 1 - sin² a = cos² a.


belgilanadi. Masalan,

	( a..	a,. ^		a,,	a
A =	^11	^12	matritsaning determinanti det A =	11	12
	L ^a21	^a22 J		^a21	^a22

^a11	^a12	^a13
^a21	^a22	^a23
^a31	^a32	^a33

^a13^a22^a31


22^a33


+ ^a12^a23^a31


^a12^a21^a33


+ ^a13^a21^a32 <sup>-


a</sup>11^a23^a32


(1.2.2)


A

det A bilan

kabi aniqlanadi.

= aa



Matritsaning muhim tavsiflaridan biri determinant hisoblanadi. Determinant faqat kvadrat matritsalar uchun kiritiladi. kvadrat matrisaning determinanti

Bunda matritsani uning determinanti bilan adashtirmaslik kerak: mattitsa - bu sonlar massivi; determinant - bu bitta son.

Uchinchi tartibli determinant

kabi belgilanadi va aniqlanadi.

Uchinchi tartibli determinant uchun satr, ustun, bosh diagonal, yordamchi diagonal tushunchalari ikkinchi tartibli determinantdagi kabi kiritiladi.

Uchinchi tartibli determinantlarni hisoblashda (1.2.2) tenglikning o‘ng tomonidagi birhadlarni topishning yodda saqlash uchun oson bo‘lgan qoidalaridan foydalaniladi.

«Uchburchakqoidasiyy ushbu sxema bilan tasvirlanadi ⁴: diagonallardagi yoki asoslari diagonallarga parallel bo‘lgan uchburchaklar uchlaridagi elementlar uchta elementning ko‘paytmasini hosil qiladi. Agar uchburchaklarning asoslari bosh diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning


Bunda

^at4	^d12	y^ai3	a ii	^ai2	^ai3
^a2^	<a^	^^a 23	^a21<	^2^	^a23
^a3i	' «32	^^a33	^a3^	^a32^	a33
	+			-

ko‘paytmasi ishorasini saqlaydi. Agar uchburchaklarning asoslari yordamchi diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlaming ko‘paytmasi teskari ishora bilan olinadi.

«Sarryus qoidalari» quyidagi sxemalar bilan ifodalanadi ³:

1. 
   qoidada avval determinant tagiga uning birinchi ikkita satri yoziladi,
   
2. 
   qoidada esa determinantning o‘ng tomoniga uning birinchi ikkita ustuni yoziladi. Bunda diagonallardagi yoki diagonallarga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlardagi elementlar uchta ko‘paytuvchini hosil qiladi. Agar to‘g‘ri chiziqlar bosh diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning ko‘paytmasi ishorasini saqlaydi. Agar to‘g‘ri chiziqlar yordamchi diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning ko‘paytmasi teskari ishora bilan olinadi.
   

2	-1	3
3	2	-1
1	3	-2

determinantlarni uchburchak qoidasi bilan


2.2-misol. 1. det A =



hisoblang.

Yechish.

2	-1	3	2	-1	3
3?	2	-1 ^	-8 +1 + 27 = 20, 3	?2	-1 => 6 - 6 + 6 = 6,^det^A = ^20^-^6 =^14-
1	3	- 2	1	3	-2

1	5	3
3	1	-2
2	- 4	1

3	4	-1
2	0	3
3	-1	2

3-


2. det B =

3. det C =

3

2-

2

1

3



determinantni Sarryusning 1-qoidasi bilan hisoblang.

^- > Д₂ = 1 - 36 - 20 - 6 - 8 -15 = -84.

3⁺

+

2

+

determinantni Sarryusning 2-qoidasi bilan hisoblang.

2. 
   n - tartibli determinant tushunchasi
   

n - tartibli determinant

^a11	^a12 .	.. a 1n
^a21	^a22 .	.. a 2n
... a n1	... . a. n2	.. ... .. a nn

det A =




kabi belgilanadi va ma’lum qoida asosida hisoblanadi.

n - tartibli determinant har bir satr va har bir ustundan faqat bittadan olingan n ta elementning ko‘paytmasidan tuzilgan n! ta qo‘shiluvchilar yig‘indisidan iborat bo‘ladi, bunda ko‘paytmalar bir-biridan elementlarining tarkibi bilan farq qiladi va har bir ko‘paytma oldiga inversiya tushunchasi asosida plyus yoki minus ishora qo‘yiladi.

n -tartibli determinantni bu qoida asosida ifodalash etarlicha noqulaylikka ega. Shu sababli yuqori tartibli determinantlarni hisoblashda bir nechta ekvivalent

qoidalardan foydalaniladi. Bunday qoidalardan biri yuqori tartibli determinantlarni quyi tartibli determinantlar asosida hisoblash usuli hisoblanadi. Bu usulda determinant biror satr (yoki ustun) bo‘yicha yoyiladi. Bunda quyi (ikkinchi va uchunchi) tartibli determinantlar yuqorida keltirilgan ta’riflar asosida topiladi.

n -tartibli determinantlarni yoyishda minor va algebraik to‘ldiruvchi tushunchalaridan foydalaniladi.

n -tartibli determinant « elementining minori deb, shu element

joylashgan satr va ustunni o‘chirishdan hosil bo‘lgan (n -1)- tartibli determinantga aytiladi va M bilan belgilanadi.

Determinant « elementining A algebraik to ‘Idiruvchisi deb,

A = (-1)^i+JM
у у

songa aytiladi.


Masalan,
0 1 determinantning «₂₁ = 2 elementining minori va

algebraik to‘ldiruvchisi quyidagicha topiladi:


-10,


A₂₁ = (-1)²⁺¹ M 21 = 10.

2. 
   Determinantning xossalari
   

Determinantning xossalarini uchinchi tartibli determinant uchun keltiramiz.

Bu xossalar ixtiyoriy n - tartibli determinant uchun ham o‘rinli bo‘ladi.