Referat Mavzu: Fluktuasiyalar Bajardi: 0170-22 guruh talabasi Tojiboyev B. Toshkent 2022 reja

O‘zbekiston Respublikasi axborot texnologiyalari va kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi


MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

Referat

Mavzu: Fluktuasiyalar

Bajardi: 0170-22 guruh talabasi Tojiboyev B.
Toshkent 2022


REJA:

1. 
   Fluktuasiya asoslari: xatolar.
   

2. 
   Fluktuasiyalar: kichik va katta.
   

3. 
   Kengaytmalar: nolga teng bo'lmagan o'rtacha va cheksiz kvadrat o'rtacha.
   

4. 
   Braun harakati.
   

X atolar qonuni fluktuasiyalar nazariyasining birinchi namunasidir. U har bir qarama-qarshi qiymatlar jufti uchun p(s) ehtimoli teng (ya’ni p(s)=p(−s)) tasodifiy yuzaga keladigan s1,…,sN qiymatlarining ko‘p sonli N yig‘indilari bilan bog‘liq. Agar har bir s ning mumkin bo'lgan qiymatlari cheksiz ko'p (va kamida ikkita) bo'lsa, ularning yig'indisi N soniga teng bo'lishi mumkin, ammo katta N va o'rtacha qiymatdan og'ishlar uchun bunday katta qiymat mumkin emas. N kvadrat ildizining tartibi Gaussning normal qonuni deb ham ataladigan xatolar qonuniga amal qiladi.

(1)

agar D=∑ss2p(s) boʻlsa, N→∞ koʻrinishida 0 ga yaqinlashadi ([a,b] har qanday chekli intervaldir).

Gaussning qo'llanilishi asteroid orbitasini aniqlashdagi xatolarni nazorat qilish edi, agar kuzatishlar mavjud bo'lsa, uning osmondagi holati. (Gauss 1971).
Xato qonuni universaldir, chunki u s o'zgaruvchilarning qaysi qiymatlari bo'lishidan qat'iy nazar amal qiladi.

(1) ular cheksiz ko'p imkoniyatlarga ega,

(2) p(s) ehtimolliklar ∑ssp(s)=0 kutilganiga o‘rtacha 0ni beradi,

(3) har qanday qiymatning paydo bo'lishi boshqa qiymatlarning paydo bo'lishidan mustaqil ravishda sodir bo'ladi. Eng oddiy qo'llanilishi teng ehtimolli qiymatlar yig'indisiga s=±1.

F luktuasiyalarning yana bir muhim turi, masalan, v hajmli mintaqadagi atomlar sonini yoki t vaqt oralig'idagi radioaktiv parchalanish sonini tavsiflovchi Puasson fluktuasiyalari: bular o'rtacha n soni v ga proportsional bo'lgan mustaqil hodisalardir. yoki t; m hodisaning haqiqatda kuzatilishi ehtimoli P(m)=e−nm/m!. Bunday fluktuasiyalarning o'ziga xos xususiyati, shuningdek, kamdan-kam uchraydigan hodisalar, o'rtacha kvadrat og'ishning o'rtachaga teng bo'lishidir.

N tartibli o'lchamdagi ∑Ni=1si qiymatlarining ehtimolliklari katta fluktuasiyalar nazariyasi deb ataladi, chunki xatolar qonunida ko'rib chiqilgan va ko'pincha kichik fluktuasiyalar deb ataladigan ∑Ni=1s N-tartibli bo'lgani uchun nisbatan ancha kichikdir.

Bundan tashqari, katta fluktuasiyalar universal xususiyatlarni ko'rsatadi, lekin kamroq darajada. ∑Ni=1si yig'indisi ikkita teng ehtimolli s=±1 mustaqil qiymatlarni o'z ichiga olganida tahlil qilish juda oddiy: f(s) funksiya mavjudki, s∈[a,b] bilan ∑Ni=1si=sN bo'lish ehtimoli bor, va quyidagi ehtimollik -1
(2)
N katta va 0<|s|

Katta og'ishlar ehtimolining N ga eksponensial bog'liqligi universal xususiyat bo'lsa-da, katta og'ishlar tezligi funktsiyasi universal funktsiya emas: faqat f(s) ning ikkinchi hosilasi D bilan s=0 da maksimalga ega bo'lgan xususiyat. qat'iy ijobiy universaldir.

Xatolar qonuni katta og'ishlar qonuniga mos keladi: buni evristik usulda katta og'ishlar qonunidan foydalanib, ∑Ni=1si=xN−−√∈[a,b] ehtimolini o'rganish va N dagi yetakchi tartibni qayd etish orqali ko'rish mumkin. u ∼e−min[a,b]x2/2D bo'ladi, agar D= f(s) ning s=0 va D>0 da ikkinchi hosilasi bo'lsa (Gnedenko va Kolmogorov 1968).

Fluktuasiyalarning o'rtacha atrofidagi mustaqil o'zgaruvchilar yig'indisining universallik xossalarini shunday xulosa qilish mumkinki, O(N−−√) o'lchamdagi kichiklar, chekli ko'p qiymatlarni qabul qiladigan mustaqil o'zgaruvchilar yig'indisi universal (Gauss) yagona parametr D bilan boshqariladigan taqsimot. Ikkinchisi katta fluktuasiyalar ehtimolini boshqaradigan universal bo'lmagan f(s) funksiyaning maksimaldagi ikkinchi hosilasidir. Katta fluktuasiyalar N soni bilan eksponensial nolga moyil bo'lgan ehtimolga ega, chunki s∈[a,b] va mins

Xatolar va katta fluktuasiyalar qonunlari umumiy holatga kengaytiriladi, bunda s def=∑ssp(s)≠0, masalan. qarama-qarshi qiymatlar teng bo'lmagan ehtimollar bilan sodir bo'lganda: shunchaki ular bir xil shaklni saqlab qoladi, agar ∑Ni=1s i ∑Ni=1(si−s¯) bilan almashtiriladi va 0<∑s(s-s¯)2p(s)<+ ∞.

Keyingi kengaytmalar o'zgaruvchilari cheksiz (hisoblab yoki undan ko'p) ko'p qiymatlarni qabul qiladigan holatlarga nisbatan qo'llaniladi. Oldin ko'rib chiqilgan holatlarda ∑Ni=1(si−s¯) kattaliklar N[min(s-s-s), max(s-s)] oraliqdan oshmasligi kerak; lekin max|s|=+∞ katta og'ishlar N dan kattaroq tartibli o'lchamdagi ∑Ni=1(si−s¯) miqdorlarga tegishli bo'lgan hollarda. Bu shuni anglatadiki, bunday holatlarga nisbatan katta yoki kichik dalgalanma qonunlarini kengaytirishda biroz ehtiyot bo'lish kerak.

Masalan, p(s)=p(−s) ∑sps2<∞ ga ega bo‘lgani uchun 0 ga juda sekin pasayib ketadigan p(s)=p(−s) ehtimolliklari bilan s i cheksiz ko‘p qiymatlarni qabul qilishi mumkin va ∫∞sp(s)ds bo‘lgan maxsus holatni ko‘rib chiqing, s→∞ uchun asimptotik, s−a ga proportsional, 0 (3)
s da p(s) ehtimolliklari simmetrik bo'lmagan holatlar ko'proq s qonunlarining p(s) ga faqat bitta emas, balki bir nechta parametr orqali bog'liqligi ma'nosida ishtirok etadi (Gnedenko va Kolmogorov 1968). Masalan, agar a=1 va ∫∞sp(s)ds s→∞ uchun asimptotik, s−a ga proportsional bo‘lsa, s<0 uchun p(s)=0 bo‘lsa, u holda
(4)
Agar ∫s2p(s)=+∞ umuman olganda ∑Ni=1s f(s) chegara qonunini qabul qilmasligi mumkin, hatto kichik fluktuasiyalar uchun ham. Bu shuni anglatadiki, a va aN ning mos variantlari uchun ham f(s) funksiya mavjud emaski, N−1a∑Ni=1(si−aN) ning asimptotik tarzda berilgan [a,b] ga tushish ehtimoli bor. ∫baf(s)ds . Yagona hodisalar taqsimotining dumlari s r+(s)=∫∞sp(s)ds va r−(s)=∫−s− deb belgilansa, chegara qonunining mavjudligining zarur va yetarli sharti hisoblanadi. ∞p(s)ds, ya'ni
(5)
0

Broun harakati nazariyasi suyuq muhitda (masalan, suv) to'xtatilgan gulchang zarralari (kolloid) bilan bog'liq bo'lib, ular juda katta hajmga ega bo'lsa-da, katta molekulalar va shuning uchun statistik mexanika ularga tegishli deb hisoblash mumkin.

Ajablanarlisi shundaki, Eynshteyn nazariyani mavjud eksperimental dalillarni bilmasdan ishlab chiqdi, shuning uchun u aytishi mumkin edi:

...Bu erda muhokama qilinadigan harakatlar "Braun molekulyar harakati" deb ataladigan harakatlar bilan bir xil bo'lishi mumkin, ammo bu haqda menda mavjud bo'lgan ma'lumotlar shunchalik aniq emaski, men bu borada hech qanday xulosa chiqara olmayman. masala...

Biroz vaqt o'tgach, u birinchi navbatda dalillarni G. Kantoni tomonidan e'lon qilingan 1867 yilgi eksperimental natijalar seriyasiga emas, balki M. Gouyga bog'ladi va u shunday xulosaga keldi:

...Aslida, suyuqlikdagi juda kichik qattiq zarralarning raqsga tushishi, ma'lum bir haroratda shunday qattiq zarrachalar va molekulalarning har xil tezliklari bilan bog'liq deb o'ylayman. ularni har tomondan urgan suyuqlik. Boshqalar allaqachon Brownian harakatlarini tushuntirishga harakat qilganmi yoki yo'qligini bilmayman ... (Cantoni 1867; Pais 1982; Duplantier 2005).

To'xtatilgan zarrachalarning to'g'ri chiziqli bo'lmagan harakati ularning molekulalar bilan tasodifiy to'qnashuvi tufayli fluktuasiyalarga bog'liq. Bu tasodifiy harakatdir, hech bo'lmaganda molekula bilan bitta to'qnashuvda olingan v tezlikni yo'qotish uchun zarur bo'lgan vaqtga nisbatan t katta vaqt shkalalarida kuzatilganda. Dissipatsiya ishqalanish tufayli sodir bo'ladi, bu esa o'z navbatida suyuqlik molekulalari orasidagi mikroskopik to'qnashuvlar bilan bog'liq.

Muhitning yopishqoqligi zarrachalarni sekinlashtiradi (yoki ularda termostat vazifasini bajaradi) va bu ham muhitning atom tabiatining ko'rinishidir: shuning uchun ishqalanish koeffitsienti qiymati va uning fluktuasiyalari o'rtasida bog'liqlik bo'lishi kerak. mikroskopik to'qnashuvlar tufayli impuls almashinuvi. Bu Braun harakatidan boshlab, paradigmatik alohida holat sifatida, miqdoriy jihatdan bog'liq bo'lgan, muvozanatga juda yaqin bo'lgan, transport hodisalarida yuzaga keladigan dissipatsiya va mos kuzatiladiganlarning muvozanat fluktuasiyalari bilan bog'liq natijalar sinfining rivojlanishiga olib keldi: Eynshteyn nazariyasi fluktuatsiyaning birinchi misoli sifatida qaralishi mumkin. dissipatsiya teoremalari.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. A. Bachelier. Th\'eorie de la sp\'eculation. Annales Scientifiques de l' \'Ecole Normale Sup\'erieure, 1900.
2. R. Becker. Electromagnetic fields and interactions. Blaisdell, New-York, 1964.
3. N. I. Chernov, G. L. Eyink, J. L. Lebowitz, and Ya. G. Sinai. Derivation of Ohm's law in a deterministic mechanical model. Physical Review Letters, 1993.
4. B. Duplantier. Brownian Motion, "Diverse and Undulating", in Einstein, 1905-2005. Poincar\'e Seminar 2005, Th. Damour, O. Darrigol, B. Duplantier and V. Rivasseau, Editors, pp. (Birkh\"auser Verlag, Basel, 2006)