Referat mavzu: Haqiqiy sonlar. Irratsional son tushunchasi. Davriy bo’lmagan cheksiz o’nli kasr

GEOLOGIYA FANLARI UNIVERSITETI

Ekologiya va atrof-muhit muhofazasi (tarmoqlar va sohalar bo’yicha)

REFERAT

Mavzu: Haqiqiy sonlar. Irratsional son tushunchasi. Davriy bo’lmagan cheksiz o’nli kasr

Bajardi:______________________

Qabul qildi:___________________

Mavzu: Haqiqiy sonlar.Irratsional son tushunchasi.Davriy bo’lmagan cheksiz o’nli kasr
Reja:
1.Haqiqiy sonlar haqida tushuncha
2.Irratsional sonlar
3.Davriy kasrlar
Haqiqiy sonlar - har qanday musbat, manfiy son yoki nol. Haqiqiy sonlar toʻplami ratsional sonlar va irratsional sonlar toʻplamining birlashmasidan iborat. Haqiqiy sonlar toʻplami son oʻqi deb ham ataladi. Haqiqiy sonlar toʻplami bilan toʻgʻri chiziq nuqtalari oʻrtasida, tartiblanganlikni saqlagan holda, oʻzaro bir qiymatli moslik oʻrnatish mumkin. Haqiqiy sonlar toʻplamining muhim xususiyatlaridan biri uning uzluksizligidir. Uzluksizlik prinsipi turli shakllarda bayon qilinishi mumkin. Haqiqiy sonlar nazariyasi matematikaning muhim masalalaridan biri boʻlib, bu nazariya 19-asrning 2-yarmida Veyershtrass, R.Dedekind, G.Kantor tomonidan yaratilgan. Barcha fizik kattaliklarni oʻlchash natijalari Haqiqiy sonlar bilan ifodalanadi.
Haqiqiy sonlar.
Ta’rif: Ratsional sonlar to’plami Q bilan irratsional sonlar to’plami I ning birlashmasi haqiqiy sonlar to’plami deyiladi va u R bilan belgilanadi.
Haqiqiy sonlar to’plami bilan son o’qi orasida o’zaro bir qiymatli moslik mavjud. Har bitta haqiqiy songa son o’qining bitta nuqtasi va aksincha, son o’qidagi har bir nuqtaga bitta haqiqiy son mos keladi.
Haqiqiy sonlar to’plami quyidagi xossalarga ega:
1) Haqiqiy sonlar to’plami cheksiz to’plam
2) Haqiqiy sonlar to’plami kontenium quvvatli to’plam
3) Haqiqiy sonlar to’plami quyidan ham yuqoridan ham chegaralanmagan to’plam;
4) Haqiqiy sonlar to’plami sonli maydonni tashkil etadi. Bu to’plamdagi elementlar orasida qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish amallari algebraik amal bo’ladi.
Har qanday a haqiqiy son uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Har qanday a haqiqiy son uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Har qanday musbat haqiqiy son uchun quyidagi tengliklar bajariladi:
1) a+b=b+a 4) (a∙b)∙c=a∙(b∙c)
2) (a+b)+c=a+(b+c) 5) (a+b)∙c=a∙c+b∙c
3) a∙b=b∙a
Haqiqiy sonlar toʻplamining muhim xususiyatlaridan biri uning uzluksizligidir. Uzluksizlik prinsipi turli shakllarda bayon qilinishi mumkin.
Haqiqiy sonlar toʻplamining muhim xususiyatlaridan biri uning uzluksizligidir. Uzluksizlik prinsipi turli shakllarda bayon qilinishi mumkin.
Haqiqiy sonlar nazariyasi matematikaning muhim masalalaridan biri boʻlib, bu nazariya 19-asrning 2-yarmida Veyershtrass, R.Dedekind, G.Kantor tomonidan yaratilgan.
Barcha fizik kattaliklarni oʻlchash natijalari Haqiqiy sonlar bilan ifodalanadi.
Haqiqiy sonlar to’plami barcha sonlar to’plamining eng oxirgisi emas.
Irratsional sonlar. Qisqarmas kasr shaklida ifodalab bo'lmaydigan sonlar, ya'ni irratsional sonlar ham uchraydi.
Davriy bo‘lmagan cheksiz o‘nli kasr irratsional son deyiladi.
Masalan, 2,1235456528…; 0,1234568879504…;5,214503548… 
1 -misol. Tomoni 1 ga teng bo'lgan kvadratning d diagonal! hech qanday ratsional son bilan ifodalan-masligini isbot qilamiz.
I s b o t . Pifagor teoremasiga muvofiq d2= 12+ 12= 2. Diagonalni qisqarmas kasr ko'rinishida yozish mumkin, deb faraz qilaylik. U holda Bunga ko'ra m — juft son, m= 2k. Shuningdek, (2k)2= 2n2 yoki 2k= n, ya'ni n ham juft son.   kasrning surat va maxraji 2 ga qisqarmoqda, bu esa qilingan farazga zid. Demak, d ning uzunligi, ya'ni  soni ratsional son emas.
Irratsional ifodalar quyidagi xossalarga ega:
Agar   bo’lsa, u holda

Agar   bo’lib,   bo’lsa, u holda


1-misol. ifodaning maxrajini irratsionallikdan qutqaring.
Yechish. Ma’lumki, Shuning uchun  desak,

2-misol. ifodaning maxrajini irratsionallikdan qutqaring.
Yechish. Bizga ma’lumki va formulaga asosan deb, quyidagiga ega bo’lamiz:

3-misol.  ifodani soddalashtiring. 
Yechish. Agar berilgan ifodani soddalashtirishda uning aniqlanish soxasi avvaldan berilmagan bo’lsa, u holda aniqlanish soxasi topib olinadi.

bo’lishini hisobga olsak,


Ratsional va irratsional sonlar birgalikda haqiqiy sonlarni tashkil qiladi.
Haqiqiy sonlar uchun quyidagi xossalar o’rinli:
1) A=B bo’lsa B=A bo’ladi.
2) A>B va B>C bo’lsa, A>C bo’ladi.
3) A>B bo’lsa, C ixtiyoriy son uchun
4) A>B bo’lib, C>0 bo’lsa, …
5) Agar A>0, B>0 bo’lib, A>B bo’lsa, u holda …(teskarilari)
Haqiqiy sonlar to’plamida bajariladigan amallar va munosabatlar:
10.  20.   
30.  40. 
50.  60.   
Amallardan
a va b sonlarning ayirmasi a-b deb, a=b+x shartni qanoatlantiruvchi x songa aytiladi. Ta’rifga ko’ra x = a-b
Bo’linma ta’rifini yozing.
Haqiqiy sonning butun va kasr qismi. a sonining butun qismi deb, a dan katta bo'lmagan butun sonlarning eng kattasiga aytiladi va [a] yoki E (a) orqali belgilanadi.
O'qilishi: «a ning butun qismi2» yoki 2 «antye α» (fransuzcha entiere — butun).

Sonning butun qismi quyidagi xossalarga ega:
1-xossa. a, b є Z bo'lganda, [a + b] = [a] + [b] bo'ladi.
2- x o s s a. a, b є R bo'lganda, [a + b] ≥ [a] + [b] bo'­ladi. [9+ 10]-[9]+ [10]-19; [9,8]+ [9,9] = 9 + 9 = 18. [9,8 + 9,9] = [19,7] - 19. 18 < 19.
a - [a] ayirma a sonining kasr qismi deyiladi va {a} orqali belgilanadi: {a}=a-[a]>0, 0<{a}2- m iso 1.
3-misol. Agar [a] = [b] bo'lsa, -1I sbot. α = [α] + {α} va b = [b] + {b} bo'lganidan a-b = ([a] + {a})-([b] + {b}) = ([a]-[b]} + ({a} - {b}) = = {α}-{b}. Lekin 0≤{α}Shunga ko'ra (va qarama-qarshi ma'nodagi tengsizlik-larni hadlab ayirish mumkinligiga asoslansak):
0≤{α}{b}≥O, -1≤{a}-{b}<1.
4- m i s o 1. Agar a soni butun va nomanfiy bo'lsa, [na]≥ n[a] bo'lishini isbotlang.
Isbot. [na] = [n([a] + {a})] = n[a] + n{a}, bunda n{a}≥0.
Demak, [na]≥ n[a].
Algebraik va transtsendent sonlar.
Transsedent sonlar xossalari
1. Agar t – transsendent son bo ‘lsa, u holda –t va 1/t lar ham transsendent sonlar bo ‘ladi.
2. Agar a – algebraik son, t – transsendent son bo ‘lsa u holda a+t, a-t, at, a/t, t/a sonlar ham transsendent son bo ‘ladi .
3. Agar t – transsendent son, n – butun son bo ‘lsa, u holda  va  transsendent son bo ‘ladi.
Masalan, c va d lar har xil nomanfiy butun sonlar bo ‘lsin.   irratsional son ekanligini isbotlaymiz.
Yechilishi: Irratsional son haqidagi mulohazalarga asosan isbotlaymiz. Shartga ko‘ra  ifoda 1 dan katta, shuning uchun ham   ifoda 0 dan katta. Teskari faraz qilaylik, ya’ni   ratsional son bo ‘lsin, u holda
, bu yerda a va b lar musbat butun sonlar. U holda
bo ‘ladi.
Bu tenglikning ikkala tomonini b darajaga ko‘tarib
tenglikka ega bo ‘lamiz.
Arifmetikaning asosiy teoremasiga asosan bu tenglik   va   bo‘lgandagina to‘g‘ri bo‘ladi ya’ni,  . Ammo c va d lar har xil sonlar edi, u holda bd va bc lar ham har xil sonlar bo ‘lishi kerak edi. Demak,   son irratsional son ekan.
Ammo hamma logarifmik ifodalar qatnashgan sonlar transsendent son bo‘lavermaydi. Masalan, 
Irratsional sonlar: algebraik (masalan, ) va transsendent(masalan,  )
Haqiqiy sonlar: algebraik(ratsional va irratsional) va transsendent(hammasi irratsional) sonlar bo‘ladi.