Реферат по предмету: «Общая геология»

Каноническое уравнение прямой:

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Поставим себе задачу: получить уравнение прямой a, если  - некоторая точка прямой a и  - направляющий вектор прямой a.
Пусть  - плавающая точка прямой a. Тогда вектор  является направляющим вектором прямой a и имеет координаты  (при необходимости смотрите статьюнахождение координат вектора через координаты точек). Очевидно, что множество всех точек  на плоскости определяют прямую, проходящую через точку  и имеющую направляющий вектор  тогда и только тогда, когда векторы  и  коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов  и  :  . Последнее равенство в координатной форме имеет вид  .
Если  и  , то мы можем записать

Полученное уравнение вида  называют каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Уравнение  также называют уравнением прямой в каноническом виде.
Итак, каноническое уравнение прямой на плоскости вида  задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку  и имеющую направляющий вектор  .
Приведем пример канонического уравнения прямой на плоскости.
К примеру, уравнение  является уравнением прямой в каноническом виде. Прямая, соответствующая этому уравнению, проходит через точку  , а  - ее направляющий вектор. Ниже приведена графическая иллюстрация.

Отметим следующие важные факты:
· если  - направляющий вектор прямой и прямая проходит как через точку  , так и через точку  , то ее каноническое уравнение можно записать как  , так и  ;
· если  - направляющий вектор прямой, то любой из векторов  также является направляющим вектором данной прямой, следовательно, любое из уравнений прямой в каноническом виде  соответствует этой прямой.
уравнениями прямой:
,  , (7)
где  – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой,  – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t – параметр.
Доказательство. В соответствии с определением уравнения любого множества точек координатного пространства, мы должны доказать, что уравнениям (7) удовлетворяют все точки прямой L и, с другой стороны, не удовлетворяют координаты точки не лежащей на прямой.
Пусть произвольная точка  . Тогда векторы  и  являются по определению коллинеарными и по теореме о коллинеарности двух векторов следует, что один из них линейно выражается через другой, т.е. найдется такое число  , что  . Из равенства векторов  и  следует равенство их координат:
,  ,  ,