Referati mavzu: aniq integral 2020-2021 reja. Aniq integral

NIZOMIY NOMIDAGI TOSHKENT DAVAT

PEDAGOGIKA UNIVERSITETI HARBIY TA’IIM FAKULTETI 101-GURUX TALABASI OMONOV SUNNATULANING OIIY MATEMATIKA FANIDAN YOZGAN

REFERATI

MAVZU:ANIQ INTEGRAL

2020-2021

REJA.

1.Aniq integral

2.aniq integra va uning xossaari .aniq integrani hisoblash usulari

3. aniq integralni taqriybiy xisoblash qoiydasi.xosmas integral

4.tirigonometrik funksiyani integrallash

5.Aniq integrani fizik va mexanik tqdbiqlari

ANIQMAS INTEGRAL

1. Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral. Aqinmas integralning xossalari. Integrallar jadvali

Ma’lumki, harakatdagi nuqtaning tezligini topish, shuningdek, egri chiziqqa urinma o’tkazish kabi masalalar funksiyani differensiallash tushunchasiga olib kelgan edi.

Nuqtaning har bir vaqt momentidagi tezligi ma’lum bo’lganda uning harakat qonunini topish, egri chiziqni uning har bir nuqtasidagi urinmalariga ko’ra aniqlash kabi masalalar ham ko’p uchraydi. Bunday masalalar yuqorida eslatib o’tilgan masalalarga teskari masalalar bo’lib, ular funksiyani integrallash tushunchasiga olib keladi.

Ta’rif. Biror chekli (a,b) yoki cheksiz oraliqdagi har bir nuqtada defferensiallanuvchi va hosilasi

shartni qanoatlantiruvchi F(x) funksiya berilgan f(x) funksiya uchun boshang’ich funksiya deyiladi. Masalan, , funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’ladi.

Ta’rif. Agar va berilgan f(x) funksiyaning ixtiyoriy ikkita boshlang’ich funksiyalari bo’lsa, u holda biror o’zgarmas sonda bo’ladi.

Ta’rif. Agar F(x) biror (a,b) oraliqda f(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda funksiyalar to’plami shu oraliqda f(x) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi.

Berilgan funksiyaning aniqmas integrali ∫ kabi belgilanadi va ta’rifga asosan, birorta F(x) boshlangich funksiya bo’yicha ∫

tenglik bilan aniqlanadi.

Bunda ∫-integral belgisi, integral ostidagi funksiya, integral ostidagi ifoda, esa integrallash o’zgaruvchisi deyiladi.Berilgan f(x) funksiyaning ∫ aniqmas integralini topish amali bu funksiyani integrallash deyiladi.

Aniqmas integral quyidagi bir qator xossalarga ega:

∫ ; ∫ ; ∫ ; ∫ ∫ ∫ ;

∫ ∫ ∫ .

Agar ∫ bo’lsa, ∫ bo’ladi.

Differensiallash va integrallash amallari o’zaro teskari amallar bo’lganligi uchun, hosilalar jadvalidan foydalanib, quyidagi integrallar jadvalini hosil qilamiz.

§5. Irratsional funksiyalarni integrallash

265

Agar y=f(x) funksiya x argumentning kasr ko’rsatkichli darajalari

ishtirok etgan algebraik ifodadan iborat bo’lsa, u irratsional funksiya deb

ataladi. Masalan: Aniq integralni taqribiy hisoblash. Xosmas integrallar

Aniq integralni hisoblashning yuqorida ko’rib o’tilgan usullarida ∫ integralni hisoblash funksiyaning biror boshlang’ich funksiyasini topish va uning qiymatini hisoblashdan iborat edi. Ammo ayrim aniq integrallar uchun bu usullarni qo’llashda quyidagi muammolarga duch kelishimiz mumkin:

1) boshlang’ich funksiyani topish murakkab;

2) boshlang’ich funksiya murakkab bo’lib, uning va qiymatlarini hisoblash qiyinchilik tug’diradi;

3) funksiya elementar funksiyalarda ifodanmaydi;

4) Integral ostidagi funksiya jadval ko’rinishida berilgan.

Bunday hollarda aniq integralni taqribiy hisoblashga to’g’ri keladi. Bu masalani yechish uchun turli formulalar topilgan bo’lib, ular umumiy holda kvadratur formulalar deyiladi. Quyida bu formulalardan ba’zilarini keltiramiz.

lar irratsional

funksiyalardir.

Har qanday irratsional funksiyadan olingan aniqmas integral

elementar funksiyalarda ifodalanmasligi mumkin.

∫ dx integral binomial integral deb ataladi. Bu yerda

r,s,p-ratsional va a,b-haqiqiy sonlardan iborat. Agar r,s,p sonlarning

uchalasi ham butun son bo’sa, unda integral ostida ratsional funksiya

bo’ladi va bu holda, binomial integral elementar funkisiyalarda

ifodalanadi. Agar r,s,p sonlardan kamida bittasi butun son bo’lmasa, u

holda integral ostida irratsional funksiya hosil bo’ladi. Bunda binomial

integral faqat quyidagi uch holda elementar funksiyalarda ifodalanishi

mumkin.

Aniq integralni taqribiy hisoblash. Xosmas integrallar

Aniq integralni hisoblashning yuqorida ko’rib o’tilgan usullarida ∫ integralni hisoblash funksiyaning biror boshlang’ich funksiyasini topish va uning qiymatini hisoblashdan iborat edi. Ammo ayrim aniq integrallar uchun bu usullarni qo’llashda quyidagi muammolarga duch kelishimiz mumkin:

1) boshlang’ich funksiyani topish murakkab;

2) boshlang’ich funksiya murakkab bo’lib, uning va qiymatlarini hisoblash qiyinchilik tug’diradi;

3) funksiya elementar funksiyalarda ifodanmaydi;

4) Integral ostidagi funksiya jadval ko’rinishida berilgan.

Bunday hollarda aniq integralni taqribiy hisoblashga to’g’ri keladi. Bu masalani yechish uchun turli formulalar topilgan bo’lib, ular umumiy holda kvadratur formulalar deyiladi. Quyida bu formulalardan ba’zilarini keltiramiz.

Aniq integralni taqribiy hisoblash. Xosmas integrallar

Aniq integralni hisoblashning yuqorida ko’rib o’tilgan usullarida ∫ integralni hisoblash funksiyaning biror boshlang’ich funksiyasini topish va uning qiymatini hisoblashdan iborat edi. Ammo ayrim aniq integrallar uchun bu usullarni qo’llashda quyidagi muammolarga duch kelishimiz mumkin:

1) boshlang’ich funksiyani topish murakkab;

2) boshlang’ich funksiya murakkab bo’lib, uning va qiymatlarini hisoblash qiyinchilik tug’diradi;

3) funksiya elementar funksiyalarda ifodanmaydi;

4) Integral ostidagi funksiya jadval ko’rinishida berilgan.

Bunday hollarda aniq integralni taqribiy hisoblashga to’g’ri keladi. Bu masalani yechish uchun turli formulalar topilgan bo’lib, ular umumiy holda kvadratu

yig’indisidan iborat bo’ladi(2-chizma). Bunda biri

nchi

trapetsiyachaning yuzi ikkinchisining yuzi va hokazo bo’lib ∫ yoki ∫ ( )

bo’ladi. Bu formula aniq integralni taqribiy hisoblashning trapetsiyalar formulasi deyiladi. Bu yerda soni ixtiyoriy tanlanadi. soni qanchalik katta bo’lsa, integralning qiymati shunchalik aniq bo’ladi.

III. Parabola formulasi (Simpson formulasi). kesmani ta teng bo’laklarga bo’lamiz. va kesmalarga mos kelgan va egri chiziq bilan chegaralgan egri chiziqli trapetsiyachalarning yuzlarini , nuqtalardan o’tuvchi parabola bilan chegaralgan egri chiziqli trapetsiya bilan almashtiramiz. Bunday egri chiziqli trapetsiyani parabolik trapetsiya deyiladi (3-chizma).

O’qi o’qiga parallel bo’lgan parabo’lani tenglamasi

dan iborat bo’ladi.

293

3-chizma

A, B, C koeffitsientlar parabolaning berilgan uchta nuqtadan o’tish shartidan topiladi. Qolgan kesmalar uchun ham yuqoridagidek parabolalarni yasaymiz. Hosil bo’lgan parabolik trapetsiyachalar yuzlarining yig’indisi integralning taqribiy qiymatini beradi. U quyidagi formuladan iborat boladi:

∫ Bu formula Simpson formulasi deyiladi.

Yuqorida biz ∫ integralni integrallash kesmasi chekli va integral ostidagi funksiya uzluksiz bo’lgan hollarda o’rgandik.

Ta’rif. funksiyaning cheksiz yarim oraliq bo’yicha I tur xosmas integrali deb yuqori chegarasi o’zgaruvchi integralning bo’lgandagi limitiga aytiladi va u

∫ deb belgilanadi. Demak, ta’rifga asosan, u

∫ ∫

ko’rinishda belgilanadi.

Agar yuqoridagi tenglamaning o’ng tomonidagi limit mavjud va chekli bo’lsa, u holda xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda, uzoqlashuvchi deyiladi.

Ko’p hollarda xosmas integralning aniq qiymatini bilish shart bo’lmasdan, uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini va yaqinlashuvchi bo’lgan holda qiymatini baholash yetarli bo’ladi.

yig’indisidan iborat bo’ladi(2-chizma). Bunda birinchi

trapetsiyachaning yuzi ikkinchisining yuzi va hokazo bo’lib ∫ yoki ∫ ( )

bo’ladi. Bu formula aniq integralni taqribiy hisoblashning trapetsiyalar formulasi deyiladi. Bu yerda soni ixtiyoriy tanlanadi. soni qanchalik katta bo’lsa, integralning qiymati shunchalik aniq bo’ladi.

III. Parabola formulasi (Simpson formulasi). kesmani ta teng bo’laklarga bo’lamiz. va kesmalarga mos kelgan va egri chiziq bilan chegaralgan egri chiziqli trapetsiyachalarning yuzlarini , nuqtalardan o’tuvchi parabola bilan chegaralgan egri chiziqli trapetsiya bilan almashtiramiz. Bunday egri chiziqli trapetsiyani parabolik trapetsiya deyiladi (3-chizma).

O’qi o’qiga parallel bo’lgan parabo’lani tenglamasi

dan iborat bo’ladi.

293

3-chizma

A, B, C koeffitsientlar parabolaning berilgan uchta nuqtadan o’tish shartidan topiladi. Qolgan kesmalar uchun ham yuqoridagidek parabolalarni yasaymiz. Hosil bo’lgan parabolik trapetsiyachalar yuzlarining yig’indisi integralning taqribiy qiymatini beradi. U quyidagi formuladan iborat boladi:

∫ Bu formula Simpson formulasi deyiladi.

Yuqorida biz ∫ integralni integrallash kesmasi chekli va integral ostidagi funksiya uzluksiz bo’lgan hollarda o’rgandik.

Ta’rif. funksiyaning cheksiz yarim oraliq bo’yicha I tur xosmas integrali deb yuqori chegarasi o’zgaruvchi integralning bo’lgandagi limitiga aytiladi va u

∫ deb belgilanadi. Demak, ta’rifga asosan, u

∫ ∫

ko’rinishda belgilanadi.

Agar yuqoridagi tenglamaning o’ng tomonidagi limit mavjud va chekli bo’lsa, u holda xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda, uzoqlashuvchi deyiladi.

Ko’p hollarda xosmas integralning aniq qiymatini bilish shart bo’lmasdan, uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini va yaqinlashuvchi bo’lgan holda qiymatini baholash yetarli bo’ladi.

Mustaqil yechish uchun topshiriqlar

1. Jism √ m/s tezlik bilan harakatlanmoqda. Jismning harakat boshlangandan keyingi 10 sek. davomida bosib o’tgan yo’li topilsin.

Javob: 23,7.

313

2. Moddiy nuqtaning harakat tezligi m/s formula yordamida aniqlanadi. Nuqtaning dastlabki 4 sek davomidagi bosib o’tgan yo’li topilsin.

Javob: 244m.

3. Massasi ga teng bo’lgan jismni yerdan balandlikka ko’tarish uchun sarf qilish kerak bo’lgan ish aniqlansin.

Ko’rsatma: Yer markazidan x masofada markazga tortish kuchi F ushbu proporsiyadan aniqlanadi