Logarifmik hosila

Logarifmik va ko'rsatkichli funksiyalar xosilalari
Reja:
1. Logarifmik hosila.
2. Daraja-ko‘rsatkichli funksiyaning hosilasi
Xulosa
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya (a;b) intervalda differensiallanuvchi va f(x)>0 bo‘lsin. U holda shu intervalda lny=lnf(x) funksiya aniqlangan bo‘ladi. Bu funksiyani x argumentning murakkab funksiyasi sifatida qarab, x nuqtadagi hosilasini hisoblash mumkin. bo‘lgan x₀ nuqtada f(x) funksiyaning hosilasini topish kerak bo‘lsin. Murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasidan foydalanib =(lnf(x))’, bundan
y’=y(lnf(x))’ (7.1)
formulaga ega bo‘lamiz.
Funksiya logarifmidan olingan hosilaga logarifmik hosila deyiladi.
Birnechta funksiyalar ko‘paytmasining hosilasini hisoblashda (7.1) formuladan foydalanish hisoblashlarni birmuncha soddalashtirishga imkon beradi. Haqiqatan ham y=u₁ u₂...u_n funksiya (bu erda har bir u_i, i= funksiya hosilaga ega va xD(f) da u_i>0) berilgan bo‘lsin. Bu funksiyani logarifmlab, lny=lnu₁+lnu₂+...+lnu_n, bundan esa
tenglikni hosil qilamiz. So‘ngi tenglikning ikkala tomonini y ga ko‘paytirib quyidagiga ega bo‘lamiz:
y’= u₁ u₂...u_n .
Misol. y= funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Berilgan funksiyani logariflaymiz:
lny=2ln(x+1)-3ln(x+2)-4ln(x+3). Bu tenglikdan hosila olib, ushbu tenglikka ega bo‘lamiz:
= .
Bundan
y’= ( )=- .


2. Daraja-ko‘rsatkichli funksiyaning hosilasi. Aytaylik y=(u(x))^v(x) (u(x)>0) ko‘rinishdagi daraja-ko‘rsatkichli funksiya berilgan va u(x), v(x) funksiyalar x ning qaralayotgan qiymatlarida differensiallanuvchi bo‘lsin. Bu funksiyaning hosilasini hisoblash uchun (7.1) formulani qo‘llaymiz. U holda (7.1) formulaga ko‘ra
y’=u(x)^v(x)(ln(u(x)^v(x))’=u(x)^v(x)(v(x)lnu(x))’=u(x)^v(x)(v’(x)lnu(x)+v(x) ) bo‘ladi. Bundan (u(x)^v(x))’=u(x)^v(x)lnu(x)v’(x)+v(x)u(x)^v(x)-1u’(x) formula kelib chiqadi.
Shunday qilib, daraja-ko‘rsatkichli funksiyaning hosilasi ikkita qo‘shiluvchidan iborat: agar u(x)^v(x) ko‘rsatkichli funksiya deb qaralsa birinchi qo‘shiluvchi, agar u(x)^v(x) darajali funksiya deb qaralsa ikkinchi qo‘shiluvchi hosil bo‘ladi.
Misol. y=x^x-1 funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. (7.1) formulani qo‘llaymiz.
y’=y(lnx^x-1)’=x^x-1((x-1)lnx)’= x^x-1(lnx+1- ). Ko’rsatkichli funksiya
T e o r e m a. f (x) = a^x , x є R, a > 0, a ≠ 1 ko’rsatkichli funksiya son o’qining istalgan nuqtasida differensiallanuvchi va uning hosilasi
(a^x)^’ = a^xIn a (9)
formula bo’yicha hisoblanadi.
I s b o t. Hosilani hisoblash qoidasiga ko’ra:
y + ∆ y = a^x+∆x; ∆ y = (y + ∆ y) – y = a^x+∆x – a^x = a^x (a ^∆x –1);
y^’ = _{  }a^x _{ }
bunda _{ } (10)
(10) tenglikni isbotlaymiz. A = 10 bo’lganda, a^x = 10^x bo’ladi.

_{ }, M≈ 0,4343…..
(10^x)^' = _{  }10^x ∙ _{ }
Shunday qilib, (10^x)^’ = _{ } (11)
formulaga ega bo’ldik. 0 < a≠1 bo’lganda asosiy logarifmik a^log_a^b = b ayniyatdan foydalanib, yoza olamiz:
^{ }→ a^x = 10^xlga
Bunday holda (a^x)^’ = (10^xlga)^’ tenglikdan foydalanib, olingan murakkab funksiyaning hosilasini topamiz:
(10^xlga)^’ = _{ }
Demak, (a^x)^’ = _{ } (12)
(9) va (12) tenglamalarni taqqoslab, _{ } tenglikni olamiz.
Haqiqatan, log_ea = _{ }
Shunday qilib, (10) tenglik o’rinli va (9) formula xєR da ma’noga ega:
y^’ = (a^x)^’ = a^x Ina
Agar y = e^x bo’lsa, u holda y^’= (e^x)’ = e^x bo’ladi.

Tayanch iboralar:
daraja, ko’rsatkichli, logarifm, teskari funksiya


Nazorat savollari :

Funksiyaning hosilasini toping

1. _{ } 4. _{ }

2. _{ } 5. _{ }
3. _{ } 6. _{ }
7. 3x^-3 –log₃x 8. 2 lnx +3^x
9. 3^x – x^-2 10. 2^x + e^x

Xulosa:
Aytaylik y=(u(x))^v(x) (u(x)>0) ko‘rinishdagi daraja-ko‘rsatkichli funksiya berilgan va u(x), v(x) funksiyalar x ning qaralayotgan qiymatlarida differensiallanuvchi bo‘lsin. Bu funksiyaning hosilasini hisoblash uchun (7.1) formulani qo‘llaymiz. U holda (7.1) formulaga ko‘ra

y’=u(x)^v(x)(ln(u(x)^v(x))’=u(x)^v(x)(v(x)lnu(x))’=u(x)^v(x)(v’(x)lnu(x)+v(x) ) bo‘ladi. Bundan (u(x)^v(x))’=u(x)^v(x)lnu(x)v’(x)+v(x)u(x)^v(x)-1u’(x) formula kelib chiqadi.


Adabiyotlar
1. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O‘zbekiston». 1 t: 1994, 2 t . 1995
2. Toshmetov O‘. Matematik analiz. Matematik analizga kirish. T., TDPU. 2005y.
3. Hikmatov A.G‘., Turdiyev T. «Matematik analiz», T.1-qism.1990y.
4. Sa’dullayev A. va boshqalar. Matematik analiz kursi misol va masalalar to`plami. T., «O‘zbekiston». 1-q. 1993., 2-q. 1995.