Regression tahlil elementlari. Regressiya tushunchasi. Chiziqli va egri chiziqli regressiya. Eng kichik kvadratlar usuli

15-MAVZU.
REGRESSION TAHLIL ELEMENTLARI. REGRESSIYA TUSHUNCHASI. CHIZIQLI VA EGRI CHIZIQLI REGRESSIYA.
ENG KICHIK KVADRATLAR USULI.


REJA:
1. Regression tahlil tushunchasi.
2. Eng kichik kvadratlar usuli.
3. Determinatsiya koeffitsiyenti.


KALIT SO’LAR:
Korrelyatsiya. Regressiya. Regressiya egri chiziqlari. Funktsional bog’lanish. Shartli o’rta qiymat. Korrelyatsiya koeffitsienti. Chiziqli regressiya. Eng kichik kvadratlar usuli. Determinatsiya koeffitsiyenti


1. Regression tahlil tushunchasi.

Ikkita tasodifiy miqdor funktsional bog‘lanish bilan, yoki statistik deb ataladigan boshqa tur bog‘lanish bilan bog‘langan bo‘lishi, yoki o‘zaro bog‘lanmagan bo‘lishi mumkin.

Masalan Y=φ (x) funktsional bog‘lanishda, tasodifiy miqdorlardan biri (x) ning o‘zgarishi bilan ikkinchi tasodifiy miqdor (Y) ning o‘zgarishi kuzatiladi. Statistik bog‘lanishda tasodifiy miqdorlardan birining o‘zgarishi ikkinchisining taqsimoti o‘zgarishiga olib keladi. Xususan, statistik bog‘liqlik miqdorlardan birining o‘zgarishi ikkinchisining o‘rta qiymatining o‘zgarishida ko‘rinadi; bu holda statistik bog‘lanish korrelyatsion bog‘lanish deb ataladi. Korrelyatsion bog‘lanish tasodifiy miqdorlar orasidagi bog‘lanishni o‘rganadi. Statistik bog‘lanish yana regression bog‘lanishni, ya‘ni tasodifiy va tasodifiy bo‘lmagan miqdorlar orasidagi bog‘lanishni ham o‘rganadi.
2. Eng kichik kvadratlar usuli.

«Eng kichik kvadratlar» usulida ushbu Y_i – y_i (i=1, 2, ..., n) ayirmani chetlanish deb ataymiz, bu yerda Y_i – (4.4) tenglama bo‘yicha hisoblangan va kuzatilayotgan x_i ga mos ordinata, y_i esa x_i ga mos kuzatilayotgan ordinata.

va b parametrlarni chetlanishlarning kvadratlari yig‘indisi minimal bo‘ladigan qilib tanlaymiz (eng kichik kvadratlar usulining mazmuni shundan iborat). Har bir chetlanish izlanayotgan parametrga bog‘liq bo‘lgani uchun chetlanishlarning kvadratlari yig‘indisi ham bu parametrlarning F funktsiyasi bo‘ladi:
yoki
bu funktsiya minimumini izlash uchun tegishli xususiy hosilalarni nolga tenglaymiz:

Bu tizimni yechib, izlanayotgan parametrlarni topamiz va izlanayotgan regressiya tenglamasini topamiz. Shuni eslatib o‘tish joizki, tenglamani ixtiyoriy ko‘rinishda qidirish mumkin, faqat bu parametrlar tenglamada chiziqli ravishda qatnashishi talab qilinadi.

«Tortilgan ip» usulida barcha natijalar korrelyatsion maydon nuqtalari ko‘rinishda tasvirlanadi.
Shuning uchun fikran bu nuqtalar orasidan ipni shunday tortish kerakki uning ikki tomonida taqriban bir xil sondagi nuqtalar yotsin. Tortilgan ip ustida yotuvchi, koordinatalari (x₁,y₁) va (x₂,y₂) bo‘lgan ikki nuqtani olamiz, bu nuqtalar tanlanmada qatnashgan bo‘lishi shart emas, lekin bir-biridan yetarlicha uzoqlikda bo‘lishi kerak.

tenglamalar tizimiga ega bo‘lamiz, ρ_xy va b noma’lumlarga nisbatan tenglamalar tizimni yechib, empirik tenglama formulasini olamiz.

Yig‘indilar usulida quyidagicha mulohaza yuritiladi. Kuzatishlar jadvali ko‘rinishida ifodalangan, ikki o‘lchovli tanlanma berilgan bo‘lsin. (4.4) empirik formula topilgan deb faraz qilaylik. Unga X tasodifiy miqdorning tanlanmadagi qiymatini qo‘yamiz va Y tasodifiy miqdorning mos qiymatlarini , i = 1, 2, ..., n ko‘rinishda yozib, Y ning o‘lchangan va xisoblangan qiymatlari orasidagi chetlanishni topamiz:

Barcha tanlanmalar uchun chetlanishlar yig‘indisi nolga teng bo‘lishini talab qilish tabiiy hol:

ρ_xy ва b koeffitsiyentlarni topish uchun bitta tenglama olindi. Ikkita tenglamaga ega bo‘lish uchun, kuzatishlar jadvalini ikki qismga ajratamiz. Faraz qilaylik, birinchi qismda r kuzatishlar bor, u holda ikkinchi qismda (n-r) ta kuzatishlar mavjud bo‘ladi. Jadvalning ikkala qismida ham (4.9) shart bajarilishini talab qilamiz. Natijada quyidagi chiziqli tenglamalar tizimiga ega bo‘lamiz:

Mos hadlarni ajratib, quyidagini olamiz:

Bundan ko‘rinib turibdiki, jadvalning ikkala qismida ham x_i va y_i qiymatlarini qo‘shish va keyin tizimni yechish kerak.