Режа: 10. Бета функция ва унинг текис яқинлашувчилиги

2⁰. функциянинг хоссалари. Энди

функциянинг хоссаларини келтирамиз.
1) функция ва аргументларига нисбатан симмет­рик функция, яъни,

бўлади.
◄ ни ифодаловчи интегралда алмаштириш ба­жа­риб топамиз:
. ►
2) функция қуйидагича ќам ифода қилинади:
. (1)
◄ ни ифодаловчи интегралда алмаштириш ба­жариб топа­миз:
►
Агар (1) да дейилса, унда

бўлади. Хусусан,

бўлади.
3) функция учун ушбу

формула ўринли бўлади.
◄Равшанки,
.
Бу интегрални бўлаклаб интеграллаймиз:

Натижада
(2)
бўлиб, ундан

бўлиши келиб чиқади. ►
функция симметрик бўлганлигидан ушбу
(3)
бўлади.
Натижа. функцияга (2) ва (3) форму­ла­­ларни такрор қўл­лаш натижасида

бўлиши келиб чиқади.
3⁰. Гамма функция ва унинг яқинлашувчилиги. Ушбу

параметрга боғлиқ хосмас интеграл гамма функция ( -тур Эйлер интеграли) дейи­ла­ди ва каби белгиланади:
.
Демак, гамма функция да аниқланган функция.
2-теорема. Ушбу

интеграл да текис яқинлашувчи бўлади.
◄ функцияни ифодаловчи интегрални икки интеграл йиғиндиси сифа­ти­да ёзиб оламиз:
.
Сўнг иккала интегралнинг ихтиёрий сегментда текис яқинлашувчи бўлишини кўрсатамиз. Параметр , да

ва да

интегралнинг яқинлашувчи бўлишидан Вейерштрасс аломати-га кўра

интегралнинг да текис яқинлашувчи бўлиши келиб чиқади. Шунингдек, параметр , да

ва

интегралнинг яқинлашувчи бўлишидан яна Вейерштрасс ало­ма­тига кўра

интегралнинг да текис яқинлашувчи бўлишини топамиз. Демак,

хосмас интеграл да текис яқинлашувчи бўлади. ►
Натижа. функция да узлуксиз бўлади.
◄Бу тасдиқ

интегралнинг текис яқинлашувчилиги ќамда интеграл остида-ги функ­­­циянинг да узлуксиз бўли­­­­ши­дан келиб чиқади. ►