Reja: Algebra va uning rivojlanish tarixidan
Download 0.55 Mb. Pdf ko'rish
|
1-maruza (1)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 5. Minor va algebraik to’ldiruvchilar. 6.
- Misol.
- n-tartibli determinant
- 4-xossa .
- 5. Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar. 1-ta’rif.
- QAYТARISH UCHUN SAVOLLAR.
|
3 1-MAVZU. Dunyo va Markaziy Osiyoda matematika fanining rivojlanishi va unga hissa qo‘shgan olimlar. Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar. Determinantni hisoblash usullari. Determinantning asosiy xossalari. Minorlar va algebraik to'ldiruvchilar. n- tartibli determinant haqida tushuncha REJA: 1. Algebra va uning rivojlanish tarixidan. 2. 2-tartibli determinantlar. 3. 3-tartibli determinantlar. 4. Determinantlarning xossalari. 5. Minor va algebraik to’ldiruvchilar. 6. n - tartibli determinantlar. Тayanch so’zlar: elementlar, yo’l, ustun va diagonal elementlari, determinant, minor, algebraik to’ldiruvchi, determinantning yoyilmalari. 1. Algebra va uning rivojlanish tarixidan. Algebra matematikaning bir qismi va u turli miqdorlar ustida amallarni hamda shu amallar bilan bog’liq tenglamalarni yechishni o’rganadi. Kengroq ma’noda algebrada ixtiyoriy tabiatli to’plamning elementlari ustida sonlarni qo’shish va ko’paytirish kabi odatdagi amallarni umumlashtiruvchi amallarni o’rganuvchi fan tushuniladi. Uch og’aynning yoshlari 30, 20, 6 da. Necha yildan keyin eng kattasining yoshi ikkala ukasi yoshining yig’indisiga teng bo’ladi. . 4 , ) 6 ( ) 20 ( 30
x x x
Bunday tenglamalar eramizdan avval 2 minginchi yillarda qadimgi Misrda ma’lum edi. Lekin ular harflardan foydalanmagan. Eramizdan avvalgi 2 minginchi yil boshida qadimgi bobilliklar yanada murakkabroq masalalarni yechishgan. III asrda yashagan Iskandariyalik olim Diofant geometrik bayonni rad etib harfiy ifodalardan foydalanadi. Unda manfiy ko’rsatkichli darajalar, manfiy sonlar, musbat va manfiy sonlarni ko’paytirish qoidalarini yozish uchun qisqacha belgilar bor edi. Algebraning keyingi rivojiga Diofant o’rgangan algebraik tenglamalar kuchli ta’sir ko’rsatgan. VI asrdan boshlab matematik tadqiqotlar markazi Hindiston, Xitoy, Yaqin Sharq va O’rta Osiyo mamlakatlariga ko’chdi. Xitoylik olimlar chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini topishda noma’lumlarni ketma-ket yo’qotish usulini topishgandi. Ammo algebra, tenglamalarni yechish masalalariga bog’liq muammolarni bayon etuvchi matematikaning maxsus tarmog’i sifatida Yaqin Sharq va O’rta Osiyo olimlari ishlarida shakllandi. IX asrda o’zbek matematigi va astranomi Muhammad ibn Muso al Xorazmiy (783-850) «Al-jabr val muqobala» asarini yozdi. Bu asarda 4 Xorazmiy chiziqli tenglamalarni yechishning umumiy qoidasini berdi va kvadrat tenglamalarni sinflarga ajratib, har bir sinf uchun yechish yo’llarini ko’rsatdi. Al-jabr (tiklash) so’zi tenglamadagi manfiy hadlarni uning ikkinchi qismiga ishorasini o’zgartirib o’tkazishni bildirgan. Yangi fan «Algebra» ning nomi o’sha «Al-jabr» so’zidan olingan. Qisqacha, al-Xorazmiy to’g’risida ma’lumotlarni qaraganda Xorazmiy o’qish, yozish va sanashni mahalliy diniy maktab, madrasada oldi. U ilmiy masalalarni o’z o’qituvchilaridan yaxshiroq tushunar, juda ko’p o’qir, o’z ustida tinimsiz ishlar, madrasaning majburiy darsliklari bilan chegaralanib qolmas edi. Xorazmiyning yoshlik davri Xorazmni arablar zabt etgan davrga to’g’ri keladi. Beruniyning yozishicha, arab istilochilari Xorazmning milliy madaniyatini yo’q qilib yuborgani, kitoblarning kuydirilganini, olimlarni o’zlari bilan olib ketganini, bo’ysunmaganlarini o’ldirganini yozadi. Shu sabab bo’lsa kerak, VIII asr oxirida Xorazmiy Bag’dodga keladi. Bu asr o’rtalarida davlat boshiga abbosiylar kelgan va Sharqiy arab xalifaligida hayot o’z iziga tusha boshlagan edi. Bag’dodda turli kasb egalari, olimlar to’plana boshlaydi. Fanning rivojlanishi Xorun ar-Rashid (786-809) va uning o’g’li Al-Mahmun xalifalik qilgan (813-833) davrga to’g’ri keladi. Al-Ma’mun Bag’dodda «Bayt al-hikmat» (Donishmandlar uyi)ni qurdiradi. Bunda yaxshi rasadxona, boy kutubxona bor edi. Uni o’z davrining Akademiyasi desa bo’lar edi. Xorazmiy Bag’dodga kelib ilmiy ishlar bilan shug’ullanadi. Tez orada Xorazmiy matematika, astronomiya, geografiya, tarix va tabobat ilmi bo’yicha butun O’rta Sharqda shuhrat qozondi. U «Donishmandlar uyi»da ilmiy ishlarga, kutubxonaga, rasadxonaga rahbarlik qildi. Uni Fanlar Akademiyasining birinchi prezidenti deyish mumkin. Xorazmiyning matematikaga qo’shgan hissasi beqiyos. Uning «Hind hisobi» nomli asari o’nli sistema raqamlari 0, 1, 2, . . . , 9 ga bag’ishlangan. Ularni soddalashtiradi va birinchi marta arab tilida bayon etadi. Bu raqamlar Xorazmiy asari orqali arablarga, keyin Yevropaga o’tadi. Matematikadagi algoritm termini ham Xorazmiyning nomi bilan bog’liq, Al-Xorazmiy lotincha al-goritm deyilgan va shu so’zdan kelib chiqqan. Xorazmiy o’rta asr Sharqida yaratilgan birinchi matematik-astronomik jadvallarning muallifi. Amerikalik sharqshunos olim Sorton Xorazmiyni «barcha zamonlarning eng buyuk matematiklaridan biridir» deb tahriflaydi. 2. Ikkinchi tartibli determinant. Тa’rif. Agar, a 11 ,a 12 ,a 21 ,a 22
sonlar berilgan bo’lsa, shu sonlar orqali aniqlangan a 11 a 22 - a 12 a 21 ushbu songa ikkinchi tartibli determinant deyiladi va odatda quyidagicha belgilanadi:
5 22 21 12 11
а а а = a
11 a 22 - a 12 a 21 (1)
a 11 ,a 12 ,a 21 ,a 22 larga determinantning elementlari deyiladi.
a 11 ,a 12 larga determinantning birinchi, a 21 ,a
larga esa ikkinchi yo’l elementlari deyiladi. a 11 ,a 21 larga determinantning birinchi a 12 ,a 22 larga esa ikkinchi ustun elementlari deyiladi. a 11 ,a
larga determinantning bosh, a 21 ,a
larga determinantning ikkinchi yoki yordamchi diagonal elementlari deyiladi. (1) dan ko’rinadiki ikkinchi tartibli determinantni hisoblash uchun, bosh diagonal elementlar ko’paytmasidan yordamchi dioganal elementlari ko’paytmasini ayirish kifoya ekan. Determinant lotincha so’z bo’lib, aniqlovchi degan ma’noni ifodalaydi.
Misol. 3 9 9 7 =21-81= -60 3. Uchinchi tartibli determinant. Тa’rif. Berilgan a 11,
a 12,
a 13,
a 21 ,a 22, a 23, a 31,
a 32
, a 33 sonlar orqali aniqlangan va quyidagicha belgilangan
33
31 23 22 21 13 12 11 а а а а а а а а а = a
11 a 22 a 33
+ a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33 - a 11 a 23 a 32 songa uchinchi tartibli determinant deyiladi. Uchinchi tartibli determinant uchta yo’l va uchta ustun elementlaridan iborat bo’lib, j i a (
=1,2,3; j=1,2,3) hammasi 9 ta element bo’ladi.
dagi birinchi indeks i yo’lning nomerini ya’ni nechanchi yo’l elementi ekanligini bildiradi. Ikkinchi indeks j esa ustunning nomerini ya’ni nechanchi ustun elemnti ekanligini bildiradi. Determinantlar har vaqt biror aniq son bo’lgani uchun uchunchi tartibli determinant ham biror aniq sonni ifodalaydi, bu son esa quyidagicha hisoblanadi. Birinchi diagonal elementlar ko’paytmasi va asoslari shu diagonalga parallel bo’lgan ikkita teng yonli uchburchaklar uchlaridagi elementlar ko’paytmalarining algebraik yig’indisidan ikkinchi diagonal elementlar ko’paytmasi va asoslari shu diagonalga parallel bo’lgan ikkita teng yonli uchburchak uchlaridagi elementlar ko’paytmalarining algebraik yig’indisini ayirganiga teng bo’ladi.
6 33 32 31 23 22 21 13 12 11 а а а а а а а а а = + + - - - = =a 11 a 22 a 33
+ a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33 - a 11 a 23 a 32. n-tartibli determinant nn n n n n а а а а а а а а а ....
.... ....
.... ....
.... ....
2 1 2 22 21 1 21 11
ko’rinishdagi simvolga n-tartibli determinant deyiladi. Bu yerda ham yo’l, ustun, element va diagonal tushunchalari o’z kuchlarini saqlab qoladi. n-tartibli determinant ham biror aniq sonni ifodalaydi. Yuqori tartibli determinantlarni hisoblashni minor va algebraik to’ldiruvchi tushunchalaridan keyin ko’ramiz.
determinantning qiymati o’zgarmaydi. 2-xossa. Determinantning ixtiyoriy ikkita yo’lini (yoki ustunini) o’zaro almashtirilsa, determinant qiymati o’z ishorasini o’zgartiradi. 3-xossa. Determinantning biror yo’lining (yoki ustunining) barcha elementlari nol bo’lsa, determinantning qiymati nol bo’ladi. 4-xossa. Ixtiyoriy ikkita yo’li yoki ikkita ustuni bir xil bo’lgan determinant qiymati nol bo’ladi. 5-xossa. Istalgan yo’l (yoki ustun) ning umumiy elementini determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin. 6-xossa. Determinantning biror yo’l (yoki ustun) elementlariga boshqa yo’l (yoki ustunining) elementlarini biror songa ko’paytirib qo’shganda determinantning qiymati o’zgarmaydi. Bu xossalarning to’g’riligini bevosita determinantlarni hisoblab ishonch hosil qilish mumkin.
elementining minori deb, shu element turgan yo’l va ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan (n-1) - tartibli determinantga aytiladi va odatda M ij orqali belgilanadi. Masalan. 7 33 32 31 23 22 21 13 12 11 а а а а а а а а а
uchinchi tartibli determinantning a 23 elementining minori M 23 =
31 12 11 а а а а ikkinchi tartibli determinant bo’ladi.
j i a elementining algebraik to’ldiruvchisi deb shu element minorini (-1) i+j
ishora bilan olinganiga aytiladi va j i A orqali belgilanadi. j i A = (-1)
i+j M ij Misol.
2 2 1 3 1 6 0 5 2 1 3 4 1 3 2 1
determinantning a 43 elementining minorini va
a 21
elementining algebraik to’ldiruvchisini hisoblang. M 43 = 1 0 5 2 3 4 1 2 1 =3-20-15+8= -24 A 21 =(-1) 2+1
M 21 = -M 21 = -
2 2 1 1 6 0 1 3 2 = -24+3-6+4= -23. Minor va
algebraik to’ldiruvchilar tushunchalari kiritilgandan keyin determinantning yana uchta xossasini ko’rib o’taylik.
elementdan boshqa hamma elementlari nol bo’lsa, u holda bu determinant shu element bilan shu elementning algebraik to’ldiruvchisi ko’paytmasiga teng bo’ladi. nn nj n n il n j n j a a а а a a a а а a а а а ....
.... ....
.... ....
.... ....
.... 0 .... .... 0 0 .... ....
.... ....
.... ....
.... ....
.... ....
2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 =
i a
i A = (-1)
i+j j i a M ij .
8 8-xossa. Har qanday determinant, biror yo’li (yoki ustuni) elementlari bilan shu elementlarning algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisiga teng bo’ladi. 33 32
23 22 21 13 12 11 а а а а а а а а а = a
21 A 21 +a 22 A 22 + a
23 A 23 yoki a 11 A 11+ a 21 A 21 + a 31 A 31. Determinantning 8-xossasidan foydalanib istalgan tartibli determinantni hisoblash mumkin.
Misol. 2 6 2 3 1 8 1 4 5 1 4 1 1 4 1 5 =(-5)·(-1) 1+1 2 6 2 1 8 1 5 1 4 +1(-1)
1+2 2 6 3 1 8 4 5 1 1 + +(-4)(-1) 1+3
2 2 3 1 1 4 5 4 1 +1(-1) 1+4 6 2 3 8 1 4 1 4 1 = -264 . 9-xossa. Determinantning biror yo’li (yoki ustuni) elementlarining boshqa yo’li (yoki ustuni) elementlarining algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisi nol bo’ladi. Masalan. Ikkinchi ustun elementlarini birinchi ustun elementlarining algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirsak a 12 A 11 +a 22 A 21 + a 32 A 31 =0 bo’ladi.
QAYТARISH UCHUN SAVOLLAR. 1. 4-tartibli determinantda nechta element bor? 2. Qanday hollarda determinantning qiymati nol bo’ladi? 3. Minor va algebraik to’ldiruvchining farqi nima? 4. Determinantning qiymati uning elementlarini qanday almashtirganda o’zgarmaydi? 5. Yuqori tartibli determinantlarni hisoblash usullari. Download 0.55 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|