Reja: Birgalikda bajarilgan ish masalalari

Yechish: 2 ; ;
Javob:
11-masala
Ikki idishda har xil haroratli suv bor.
Agar birinchi idishdan 12 litr va ikkinchisidan 8 litr suv olib aralashtirilsa, aralashmaning harorati 710C bo‘ladi.
Agar birinchi idishdan 10 litr, ikkinchisidan 5 litr suv olib aralashtirilsa, hosil bo‘lgan aralashmaning harorati 700C bo’ladi.
Har qaysi idishdagi suvning haroratini aniqlang. (Bunda issiqlik isrofi hisobga olinmaydi).
Firma ishlab chiqargan mahsulotni biror sifat yoki miqdor belgisiga ko‘ra tahlil qilish talab etiladi. Bu vazifa qanday bajariladi? Masalan, go‘sht mahsuloti solingan konserva idishlari ichida nuqsonli konservalar ulushini aniqlash uchun har bir konserva idishini tekshirishimiz shartmi? Go‘sht mahsuloti solingan konserva idishining o‘rtacha massasini aniqlash uchun har bir konserva idishning massasini o‘lchab, ular yig‘indisini barcha idishlar soniga bo‘lishimiz kerak. Biz bu holda matematik nuqtayi nazardan to‘g‘ri ish tutgan bo‘lamiz, ammo iqtisodiyot nuqtayi nazaridan emas. Ammo mahsulotlar soni juda katta bo‘lsa, u holda yalpi tekshirishni o‘tkazish maqsadga muvofiq kelmaydi; sababi, bunday tekshirish qo‘shimcha ish kuchini, vaqtni va boshqa resurslarni jalb qilishni talab qiladi. Ayrim hollarda (masalan, tez buziladigan o‘simlik yoki go‘sht mahsulotlari solingan konserva idishining o‘rtacha massasini o‘lchash, elektr uskunaning buzilmasdan xizmat qilish vaqtini aniqlash va boshqalar) bunday tekshirishda mahsulot yaroqsiz holga kelishi tabiiy. Shunga o‘xshash hollarda yalpi tekshirishdan voz kechib, mahsulotlar to‘plamidan chekli sondagi mahsulotlar tasodifiy ravishda, tavakkaliga olinadi va ular o‘rganiladi. Bunday usul tanlanma kuzatish deb nomlanadi. Bizning misolimizda barcha konservalardan bir nechtasi, aytaylik, 200 tasi olinib, shu 200 ta konservaning massalaridan tashkil topgan 1 2 200 ( , ,..., ) xx x qator aniqlanadi va uning 1 2 200 ... 200 xx x x + ++ = o‘rta qiymati hisoblanadi. Shu o‘rta qiymat barcha konservalarning o‘rta qiymatiga taqriban teng degan xulosaga kelinadi. Tanlanma kuzatish usuli mamlakatning ijtimoiy-iqtisodiy holati, asosiy demografik tavsiflar, aholi bandligi, uning turmush darajasi, yashash sharoitlari, ta’lim, sog‘liqni saqlash, madaniyat sohalaridagi ko‘rsatkichlarini aniqlashda, tovar va xizmatlar iste’mol bozori, transport va aloqa xizmatlari haqida ma’lumotlarni tahlil qilishda qo‘llaniladi. O‘rganilishi kerak bo‘lgan barcha obyektlar to‘plami bosh to‘plam deyiladi. Tanlanma to‘plam (ba’zan tanlanma) deb bosh to‘plamdan ajratib olingan obyektlar to‘plamiga aytiladi. Shu to‘plamlarning har bir elementini xarakterlovchi sifat yoki miqdor ko‘rsatkichlari majmuasi statistik1 ma’lumotlar deyiladi. Statistik ma’lumotlar qatorining tabiati sonli bo‘lishi shart emas. Masalan, foylanishda bo‘lgan avtomashinalar rusumlari, ranglari o‘rganilganda, ularga mos statistik ma’lumotlarning tabiati sonli emasligi ravshan. Tabiati sonli bo‘lmagan statistik ma’lumotlar kvalitativ (ing.quality – sifat), miqdoriy statistik ma’lumotlar esa kvantitativ (ing.quantum – miqdor) deyiladi. Odatda, kvantitativ statistik ma’lumotlar sonlar ketma-ketligini (qatorini) tashkil qiladi. Bosh to‘plamning barcha elementlarini xarakterlovchi sifat yoki miqdor belgisi parametr deyiladi. Tanlanma to‘plamning funksiyasi esa statistika deyiladi. Statistika miqdoriy xarakterga ega bo‘lsa, uni statistik kattalik ham deyishadi. Agar yuqoridagi 1-misolda har bir konserva idishining o‘rtacha massasini μ deb belgilasak, u holda μ – parametrga, tanlanmadagi har bir konserva idishining x o‘rtacha massasi esa statistikaga misol bo‘lishi mumkin. Bunda muay’an holatlarda statistikaga qarab, parametrning qiymatini baholash mumkin.
Keng ma’noda statistika deb statistik ma’lumotlarni to‘plash, ularni tizimga solish, ishlov berish hamda ulardan ilmiy va amaliy xulosalar chiqarish usullarini o‘rganadigan fanga aytiladi.
Matematikada har xil to‘plamlar uchraydi. Masalan, tekislikdagi barcha nuqtalar to‘plami, barcha ratsional sonlar to‘plami, barcha juft sonlar to‘plami va hokazo. To‘plam tushunchasi juda keng ma’nodagi tushuncha bo‘lgani uchun uning ta’rifini berish juda qiyin. Shuning uchun bu tushuncha odatda ta’rifsiz qabul qilinadi. To‘plamlar lotin alifbosining bosh A, B, C, . . . harflari bilan, to‘plamning elementlari esa kichik a, b, c, . . . harflari bilan belgilanadi. Biror a buyumning A to‘plamining elementi ekanligi a ∈ A ko‘rinishda, a buyumning A to‘plamiga tegishli emasligini a /∈ A kabi yoziladi. Masalan, A to‘plam sifatida barcha natural sonlar to‘plamini olsak, u holda 2 ∈ A va −2 ∈/ A. Birorta ham elementi bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deyiladi va u ∅ ko‘rinishda belgilanadi. Bo‘sh to‘plamga x 2 + 1 = 0 tenglamaning haqiqiy yechimlari to‘plami misol bo‘ladi. Agar A to‘plamning har bir elementi B to‘plamning ham elementi bo‘lsa, u holda A to‘plami B to‘plamning qism to‘plami deyiladi va A ⊂ B ko‘rinishda belgilanadi. A va ∅ to‘plamlar A to‘plamining xosmas qism to‘plamlari deyilib, A to‘plamining boshqa qism to‘plamlari uning xos qism to‘plamlari deb ataladi. 1. A = {2, 3, 4, 5} va B = {−1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7} bo‘lsa, u holda A to‘plami B to‘plamining xos qism to‘plami bo‘ladi. 2. A = {1, 3, 6, 9} va B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} to‘plamlarning hech biri ikkinchisining qism to‘plami emas. 3. Barcha butun sonlar to‘plami barcha ratsional sonlar to‘plamining xos qism to‘plami bo‘ladi. Agar A ⊂ B va B ⊂ A bo‘lsa, u holda A va B to‘plamlari o‘zaro teng deyiladi va A = B ko‘rinishda belgilanadi. A va B to‘plamlarining o‘zaro teng emasligini A 6= B ko‘rinishda belgilaymiz. A va B to‘plamlarning kamida bittasiga tegishli bo‘lgan barcha elementlardan iborat to‘plam A va B to‘plamlarining birlashmasi deb ataladi va A ∪ B ko‘rinishda belgilanadi.
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} va B = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16} bo‘lsin. U holda A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16} bo‘ladi. 5. Agar A barcha juft sonlar to‘plami, B barcha toq sonlar to‘plami bo‘lsa, u holda A ∪ B barcha butun sonlar to‘plamidan iborat bo‘ladi. Biror X to‘plami berilgan bo‘lib, uning har bir x elementiga ba’zi Ax to‘plami mos qo‘yilgan bo‘lsin. Elementlari Ax to‘plamlardan iborat N to‘plamni to‘plamlar sistemasi deb ataymiz va uni N = {Ax : x ∈ X} ko‘rinishda yozamiz. N to‘plamlar sistemasining birlashmasi deb Ax to‘plamlarning kamida bittasiga tegishli bo‘lgan barcha elementlardan iborat to‘plamga aytiladi va bu to‘plam S x Ax ko‘rinishda belgilanadi. A va B to‘plamlarning ikkalasiga ham tegishli barcha elementlardan iborat to‘plamga bu to‘plamlarning kesishmasi deyiladi va bu to‘plam A ∩ B ko‘rinishda belgilanadi.
6. A = {6, 8, 10, 12, 14} va B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} bo‘lsa, u holda A ∩ B = {12, 14}. 7. A to‘plami 3 ga karrali sonlardan, B to‘plami esa 4 ga karrali sonlardan iborat bo‘lsa, u holda A∩B to‘plami 3 va 4 sonlariga umumiy karrali sonlardan iborat bo‘ladi. H = {Ax}, x ∈ X to‘plamlar sistemasining kesishmasi deb har bir Ax to‘plamga tegishli bo‘lgan barcha elementlardan iborat to‘plamga aytiladi va bu to‘plam T x Ax ko‘rinishda belgilanadi. Agar A ∩ B = ∅ bo‘lsa, u holda A va B to‘plamlari o‘zaro kesishmaydigan to‘plamlar deb ataladi. Misol uchun, barcha ratsional sonlar to‘plami bilan barcha irratsional sonlar to‘plami o‘zaro kesishmaydigan to‘plamlar bo‘ladi. A to‘plamning B to‘plamga tegishli bo‘lmagan barcha elementlaridan iborat to‘plam A va B to‘plamlarning ayirmasi deb ataladi va A\B ko‘rinishda belgilanadi.
Nаzаriy mаsаlаlаr mаshqlаrni yеchish dаvоmidа аmаliy аhаmiyat kаshf etаdi, bu bilаn mаshqlаr nаzаriya bilаn аmаliyotni o‘zаrо bоg‘lоvchi halqa vаzifаsini bаjаrаdi. Маshqlаrdаn fоydаlаnish o‘quvchilаrdа dunyoqаrаshini shаkllаntirishgа хizmаt qilib, ulаrgа “sоn”, “аrifmеtik аmаl”, kаbi аbstrаkt tushunchаlаr rеаl hаyotdаn, аmаliy fаоliyatdаn оlingаnligigа ishоnchni mustаhkаmlаydi.
Маshqlаrni yеchish jаrаyonidа o‘quvchilаr tasavvurini kеngаytiruvchi fаktlаr bilаn tаnishаdilаr. Bu bilаn ulаrning fаrqlаsh dоirаsi kеngаyadi, hаmdа mаshg‘ulоt bilаn hаyot, (аmаliyot) o‘rtаsidа uzviy аlоqа o‘rnаtilаdi.
Маshqlаrni yеchish o‘quvchilаrning аqliy rivоjlаnishigа kаttа tа’sir ko‘rsаtib, ulаrdа tаhlil etish, tаqqоslаsh, umumlаshtirish vа аbstrаkt fаrqlаshgа ko‘nikmаlаrni shаkllаntirаdi. Маshqlаrning tаrbiyaviy аhаmiyati hаm bеqiyosdir.
Yuqоridа sаnаb o‘tilgаn vаzifаlаrni bаjаrаr ekаn, аyni vаqtdа, mаshqlаrning o‘zlаri hаm bеvоsitа o‘rgаnish оbеktigа, shuningdеk, ulаrni yеchish zаruriy ko‘nikmаlаrni shаkllаntiruvchi vоsitаgа аylаnаdi.