Режа: Бошланғич функция (ва аниқмас интеграл) тушунчаси
Интеграл ва юзни топиш ҳақидаги масала
Download 448.45 Kb. Pdf ko'rish
|
1-маъруза
|
2. Интеграл ва юзни топиш ҳақидаги масала.
Бошланғич функция тушунчаси тарихий жиҳатдан юзни топиш масаласи билан узвий боғлиқ бўлганлиги учун (текис шакл юзи ҳақида интуитив тасаввурдан фойдаланиб ва бу масаланинг аниқ қўйилишини ХII бобгача қолдириб) ҳозироқ бу масала устида тўхтаймиз. [a b] оралиқда фақат мусбат (манфиймас) қийматлар қабул қилувчи y =f (x) узлуксиз функция берилган бўлсин. y =f (x) эгри чизиқ х = a , x = b иккита ордината ва х ўқ кесмаси билан чегараланган ABCD (63 расм) шаклни кўрайлик: бу хилдаги шаклни эгри чизиқли трапеция деймиз. Бу шаклнинг Р юзини аниқлаш мақсадида, х = a бошланғич ордината билан [a b] оралиқдан ихтиѐрий танлаб олинган х нинг қийматига мос келувчи ордината орасидаги AKLD ўзгарувчи шаклининг юзини текширайлик. Бу кейинги юз х нинг мос равишда ўзгаради шу билан биргаликда, х нинг ҳар бир қийматига унинг маьлум бир қиймати мос келади; демак AKLD эгри чизиқли трапециянинг юзи х нинг бирор функциясидир. Уни Р(х) деб белгилайлик. Аввал олдимизга бу функцянинг ҳосиласини топиш масаласини қўяйлик. Шу мақсадда х га бирорта ∆х орттирма берамиз (масалан мусбат); у вақтда Р(х) юз ∆Р орттирмага эга бўлади. f (x) функциянинг [x, x + ∆x ] оралиқдаги [73 – n 0 ] энг кичик ва энг катта қийматларини мос равишда m ва M белгилаймиз ва ∆Т юзини ∆х асосга m ва M баландликларда ясалган тўғри тўртбурчакларнинг юзлари билан таққослаб кўрамиз. Шубҳасиз, m∆x < ∆P m < бўлади. Агар ∆х → 0 бўлса, у ҳолда узлуксизлик туфайли, m ва М лар f (x) га интилади, у вақтда: P`(x) = ( ) Шундай қилиб, одатда, Нютон-Лейбниц теоремаси дейиладиган ажойиб бир теоремага келамиз: ( ) ўзгарувчи юзнинг чекли абсцисса бўйича ҳосиласи ( ) чекли ординатага тенг. Бошқача айтганда, берилган ( ) функция учун ўзгарувчи ( ) юз бошланғич функция бўлади. Бошқа функциялар ичида бу функция да нолга айланиши билан фарқланади. Шунинг учун, агар ( ) функция учун бирор ( ) бошланғич функция маълум ва олдинги номердаги теоремага асосан ( ) ( ) бўлса, у ҳолда деб ўзгармас С ни топиш мумкин. ( ) ( ) Демак, P(x) = F(x) — F(а). Хусусий ҳолда, ABCD эгри чизикли трапециянинг Р юзини топиш учун деб олиш керак. Р= F(b) - F(а). Интегралларни ҳисоблаш билан текис шаклларнинг юзларини топиш, яъни уларнинг квадратуралари орасида боғланиш мавжудлигидан, интегралларни ҳисоблашнинг ўзини квадратуралаш деб номлаш одат бўлиб қолган. Юқорида айтилганларнинг ҳаммасини манфий қийматларни ҳам қабул этувчи функцияларга тарқатиш учун шаклнинг х ўқ остидаги қисмларининг юзларини манфий деб шартлашиш етарлидир. Шундай қилиб, [a, b] оралиқда узлуксиз f (x) функция ҳар қандай бўлса ҳам, ўқувчи бу функциянинг бошланғнч функциясини функциянинг графиги билан чегараланган ўзгарувчи юз сифатида тасаввур қилиши мумкин. Бироқ, бу геометрик тасаввурни бошланғич функция мавжудлигининг исботи деб қараш ярамайди, чунки юз тушунчасининг ўзи ҳали асосланмаган. Келгуси бобда (183-n) берилган оралиқдаги ҳар бир узлуксиз функция шу оралиқда бошланғич функцияга эга деган муҳим фактнинг қатъий ва, шу билан бирга, соф аналитик исботини беришимиз мумкин. Бу тасдиқни ҳозирданоқ қабул этамиз. Бу бобда фақатгина узлуксиз функцияларнинг бошланҳич функциялари ҳақида сўзлаймиз. Агар функция конкрет берилган ва узилиш нуқталарига эга бўлса, уни узлуксиз бўлган оралиқлардагина текширамиз. Шунинг учун, юқорида айтилган тасдиқни фараз этиб, интегралларнинг мавжудлигини ҳар гал таъкидлашдан қутуламиз: қаралаѐтган интегралларнинг ҳаммаси мавжуд деб ҳисоблаймиз. Download 448.45 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|