Режа: Бошланғич функция (ва аниқмас интеграл) тушунчаси

 

---

3. Асосий интеграллар жадвали. 
Дифференциал ҳисобда бирор F(x) функциянинг ҳосиласи f(x) бўлади 
деб тасдиқловчи ҳар бир фолмула интеграл ҳисобининг унга мос
∫ ( ) =F(x) + C 
формуласига бевосита келтирилади. Элементар функцияларнинг ҳосилалари 
ҳисобланган 81-n° даги формулалардан қуйидаги интеграллар жадвалини 
тузишимиз мумкин:
1. 
∫ ·dx=C. 
2. 
∫ ∫
3. 
∫
dx=
+C. 
4. 
∫
dx=
∫
=ln|
|+C. 
5. 
∫
dx=
∫
=arc tgx+C. 
6. 
∫
√
dx=
∫
√
=arc sin x+C. 
7. 
∫
=
+C, 
∫
+C. 
8. 
∫ =-cosx+C. 
9. 
∫ = +C. 
10. 
∫
=∫
=-ctgx+C. 
11. 
∫
=∫
tgx+C. 
Бу ердаги 4-формула хақида изох берайлик. Бу формула, нолни ўз 
ичига олмаган ихтиѐрий ораликда қўлланилади. Хакикатан, агар бу оралик 
нолдан унгда ѐтса, демак, х>0, у холда дифференциаллашнинг маълум 
[ `=
формуласига мувофик 
∫
=lnx+C 
бўлади. Агарда оралик нолдан чапда ѐтса ва х<0 булса, у холда 
дифференциаллаш билан [
( )
эканлигига ишонишимиз енгил, 
бундан: 

---

∫
=
( )+C. 
Бу иккала формула 4-формулада бирлаштирилган. 
Интегралларнинг юкоридаги жадвали интеграллаш коидалари 
ѐрдамида кенгайтирилади. 
4. Интеграллашнинг энг содда коидалари.
I. Агар α ўзгармас бўлса (α≠0), у холда: 
∫ ( ) =α·∫ ( )
Хакикатан, унгдаги ифодани дифференциаллаб, 
d
[ ( ) ]=α·d[∫ ( ) =α· ( )
тенгликни хосил киламиз. [
) , демакбу ифода α· ( )
дифференциал ифодага бошланғич функция бўлади, шуни исботлаш талаб 
этилган эди. 
Шундай килиб, ўзгармас кўпайтувчини интеграл ишораси остидан 
чиқариш мумкин. 
II.
∫[ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
Ўнгдаги ифодани дифференциаллаймиз [91-
, II)]: 
[∫ ( ) ∫ ( ) ]= ∫ ( ) ∫ ( ) =[ ( ) ( )  
шундай килиб, бу ифода охирги дифференциал ифода учун бошлангич 
функция булади.
Дифференциаллар йиғиндисининг (ѐки айирмасининг) аниқмас 
интеграли ҳар бир дифференциалдан алоҳида олинган интегралларнинг 
йиғиндисига (ѐки айирмасига) тенг.
Изох. Бу иккала формула ҳақида қуйидагини айтиб ўтайлик. Буларга 
иккита ҳар бири ихтиѐрий узгармасни ўз ичига оладиган аниқмас интеграл 
киради. Бу типдаги тенгликни ўнг ва чап томони орасидаги айирма 
ўзгармасга тенг деган маънода тушунилади. Бу тенгликларни асл маънода 
тушуниш ҳам мумкин, лекин у вақтда бунда иштирок этган интеграллардан 
биттаси ихтиѐрий бошланғич функция бўлмай қолади: тенгликдаги ўзгармас 
сон бошка интеграллардаги ўзгармасларни топилгандан кейин аниқланади. 
Бу муҳим изоҳни келгусида ҳам кўзда тутиш керак. 

---

III. Агар
∫ ( ) ( ) , 
бўлса, у вактда: 
∫ ( )
( )
. 
Ҳақикатан хам, берилган муносабат куйидагига тенг кучли булади: 
( )
( ) ( ), 
Лекин у вактда 
( )
( ) ( ), 
демак, 
[
( )] ( ), 
яъни
( ) хакикатда ҳам ( ) функция учун бошланғич 
функция экан.
Айниқса
ѐки булган холлар куп учрайди: 
∫ ( ) ( )
1
,
∫ ( )
( )
2
. 
(Амалда, III қоида, аникмас интегралда узгарувчини алмаштириш 
коидасининг хусусий холидан иборат, бу қоида ҳақида қуйида 160 - 
да сўз 
юритамиз). 
 
 

---