Режа: Бошланғич функция (ва аниқмас интеграл) тушунчаси

---

1-маъруза. Бошланғич функция ва аниқмас интеграл тушунчалари. 
Режа: 
1. Бошланғич функция (ва аниқмас интеграл) тушунчаси. 
2. Интеграл ва юзни топиш ҳақидаги масала.
3. Асосий интеграллар жадвали. 
4. Интеграллашнинг энг содда қоидалари.
 
1. Бошланғич функнция (ва аниқмас интеграл) тушунчаси. Фан ва 
техниканинг кўп масалаларида берилган ҳосила бўйича функцияни ўзини 
топишга тўғри келади. 
Юқоридаги 78 -n
да ҳаракатнинг s = f( t ), тенгламаси яъни вақт ўтиши 
билан йўлнинг ўзгариш қонуни берилган деб фараз етиб, аввал v = 
тезликни, сўнгра a = 
тезланишни топдик. Бироқ амалда кўпроқ тескари 
масалани ечишга тўғри келади: а тезланиш t вақтнинг функцияси а = а( t ),
сифатида берилган бўлиб, t вақтда ўтилган йўл ва тезликни аниқлаш талаб 
қилинади. Шундай қилиб, бу ерда ҳосиласи а бўлган 
= ( t ) функцияни
а = а(t) функциядан топиб, сўнгра ҳосиласи 
бўлган = ( t) функциядан 
топиш керак. 
Шунга ўхшаш, х ўқнинг [0, x] тўғри кесмаси бўлиб узлуксиз тақсимланан 
m=m(x) масса маълум бўлганда, 78-n
да дифференциаллаб ρ=ρ(x) ―чизиқли‖ 
зичликни топдик. Лекин табиий шундай савол туғилади: зичликни берилган 
ρ = ρ(х) қонуни бўйича тақсимланган массанинг миқдорини топиш, яъни
ρ(х) функция бўйича ҳосиласи ρ бўлган m=m(x) функцияни топиш талаб 
этилади. 
Агар берилган Х оралиқнинг ҳаммасида f(х) функция F(x)нинг ҳосиласи 
ѐки f(х)dx f(х) функциянинг дифференциали, яъни F`(x) =f(x) ѐки dF(x) = f(x)dx 
бўлса, у ҳолда F(x) функция берилган оралиқда f(x) функциянинг бошланғич 
функцияси ѐки 
( ) дан олинган интеграл дейилади.
Функциянинг ҳамма бошланғич функцияларини топиш, уни
интеграллаш дейилиб, интеграл ҳисобнинг асосий масалаларидан бирини
ташкил этади; бу масала дифференциал ҳисоб асосий масаласининг
тескариси эканлиги кўриниб турибди.

---

Теорема. Агар бирор (чекли ѐки чексиз, очиқ ѐки ѐпиқ) X оралиқда 
F(x) функция f(x) нинг бошланғич функцияси бўлса, у ҳолда F(x) + C
функция ҳам (бу ерда С иҳтиѐрий ўзгармас сон) бошланғич функция
бўлади. Аксинча, X оралиқда f(x) нинг ҳар бир бошланғич функциясини шу 
кўринишда ѐзиш мумкин. 
Исбот. F(x) функция билан бирликда F(x) +C ҳам f(x) нинг
бошланғич функцияси бўлиши ўз-ўзидан равшан, чунки [F(x)+C]’= 
F’(x)=f(x).
Энди Ф(x) функция f(x) функциянинг иҳтиѐрий бошланғич
функцияси бўлсин, демак, X оралиқда Ф’(x)=f(x). Қаралаѐтган оралиқда
F(x) ва Ф(x) функциялар бир ҳил ҳосилага эга бўлганликларидан улар
ўзаро ўзгармас сон билан фарқ қиладилар [110-
Ф(x) = F(x) + C, 
шуни исбот этиш талаб қилинган эди. 
Теоремадан 
берилган 
f(x) 
функциянинг 
ҳамма 
бошланғич 
функцияларини топиш учун фақат битта F(x) бошланғич функцияни топиш 
етарли эканлиги келиб чиқади, чунки улар бир-биридан ўзгармас 
қўшилувчилар билангина фарқ қиладилар. 
Бунга кўра F(x) + C ифода, бу ерда С- ихтиѐрий ўзгармас миқдор, f(x)
ҳосилага ѐки f(x)dx дифференциалга ега бўлган функциянинг умумий 
кўриниши бўлади. Бу ифода f(x) нинг аниқмас интеграли дейилади ва 
∫ ( )
символ билан белгиланади, бу символга ихтиѐрий ўзгармас ошкормас ҳолда 
киритилган, f(x)dx кўпайтма интеграл остидаги ифода, f(x) еса интеграл 
остидаги функция дейилади. 
Мисол. f(x) = 
берилган бўлсин, у вақтда бу функциянинг аниқмас 
интеграли 
∫
бўлишини кўриш қийин емас. Буни тескари амал – дифференциаллаш йўли 
билан текшириш мумкин. 

---

―Интеграл‖ 
∫ ишораси остида изланаѐтган бошланғич функциянинг 
ҳосиласи ѐзилмасдан, унинг дифференциали ѐзилишига ўқувчиларнинг 
эътиборини жалб етамиз (бизнинг мисолда:
емас 
dx ). Бундай ѐзиш 
усули тарихий келиб чиққан , буни биз қуйида [
ойдинлаштирамиз; 
ундан ташқари бундай ѐзиш кўп афзалликларга эга ва унинг сақланиши 
мақсадга мувофиқдир. 
Аниқмас интегралнинг таърифидан қуйидаги хоссалар бевосита келиб 
чиқади: 
1. d
∫ ( )dx = f(x)dx, 
яъни d ва 
∫  белгилар биринчиси иккинчисидан олдин ѐзилган бўлса, ўзаро 
қисқаради. 
2. F(x) функция F`(x) нинг бошланғич функцияси бўлгани учун
∫
( )dx = F(x)+C 
га эга бўламиз, буни 
∫ ( ) ( )
кўринишида ҳам ѐзиш мумкин. 
Бундан F(x) олдиндаги d ва 
∫  белгилар d белги ∫ дан кейин келса ҳам 
қисқаради, фақат бунда F(x) га ихтиѐрий ўзгармас сон қўшиш керак. 
Юқорида қўйилган механик масалага қайтиб, уни 
v =
∫ ( ) ва s = ∫ ( )
деб ѐзишимиз мумкин. Аниқлик учун текис тезланишли ҳаракат билан, 
масалан, оғирлик кучи таъсирида иш қиляпмиз, деб фараз этайлик: у вақтда 
а=g (агар вертикалнинг пастга йўналишини мусбат ҳисобланса ) ва 
∫
эканлигини кўриш қийин емас. 
 v тезлик учун ифода олдик, бунда t вақтдан бошқа, ихтиѐрий С ўзгармас 
ҳам иштирок етади. Бунда, биз С га ихтиѐрий қийматлар бериб, бир хил вақт 
оралиғида тезликнинг турли қийматларини топамиз; демак, масалани тўла 

---

ечиш учун биздаги маълумотлар етарли эмас. Масаланинг тўла ечимини 
топиш учун бирор вақт оралиғидаги тезликнинг миқдорини билиш етарли. 
Масалан, t=
вақтда v = v
0
маълум деб фараз этайлик, бу қийматларни
тезлик учун топилган ифодага қўйсак,
v = gt
0 
+ С, бундан С = v
0
- gt
0
ни ҳосил қиламиз ва энди масаланинг ечими тўлиқ равишда аниқ
шаклга келади:
v = g(t – t
0
) + v
0 
. 
Cўнгра s йўл учун ифода топамиз. Тубандаги ифодага эгамиз
∫[ (
)
(
)
(
)
(дифференциаллаб бошланғич функцияни шу тарзда ѐзиш мумкинлигини 
текшириш енгил.) Масалан t = t
0 
моментида s = s
0
йўл берилган бўлса, у 
ҳолда бизга номаьлум бўлган С` ни топиш мумкин; C` = s
0 
ни топиб, ечимни 
охири қуйидаги шаклда ѐзишимиз мумкин:
s = 
(
)
+
(
) s
0 
t
0, 
s
0, 
v
0 
қийматларини шартли равишта t
, 
s
, 
v миқдорларнинг бошланғич 
қийматлари дейилади. 
Шунингдек,
∫ ( )
деб ѐзиш мумлин. Бу ерда ҳам интеграллангандан кейин С ҳосил бўлади, бу 
сафар х = 0 да масса ҳам ноль бўлиш шартидан осонгина топилади.