Эллиптик типдаги тенгламалар

www.arxiv.uz

Эллиптик типдаги тенгламалар

Режа:

1. 
   Эллиптик типдаги тенгламалар
   
2. 
   Эллиптик типдаги тенгламаларни ечишнинг тур усули
   

Маълумки, каралаётган масалада вакт фактори кучсиз роль уйнаса, яъни жараённинг математик моделида вактни ифодаловчи параметрлар катнашмаса, бундай жараёнларни стационар жараёнлар деб аталади. Стационар жараёнларга курилиш механикасини зурикиш ва эгилиш масалаларини киритиш мумкин. Стационар жараёнларнинг математик моделлари эллиптик типдаги куйидаги тенгламалар оркали ифодаланиши мумкин(икки улчовли фазода):

(1) тенгламани Пуассон тенгламаси хам аталади. Тенгламанинг чап томонида турган микдорни

Лаплас оператори оркали ифодаланиб, ёзилган куйидаги холи ёки (2)
Лаплас тенгламаси деб аталади.
Икки улчамли (1) ва (2) тенгламаларни ечимини икки улчамли G сохада аникланган деб фараз киламиз. Соха чегараси Г ёпик чизик билан чегараланган деб хисоблаймиз.
Соддалик учун интеграллаш оралигини тугри туртбурчак деб оламиз.
Ю корида таъкидлаганимиздек Пуассон тенгламаси учун Дирихле масаласи берилган туртбурчак соха учун куйидагича булади:
u(x,y)_xкa кf₁(y) u(x,y)_yкc кf₃(x)
u(x,y)_xкb кf₂(y) u(x,y)_yкdкf₄(x) (3)
Бу ерда f₁(y), f₂(y), f₃(x), f₄(x) лар интеграллаш сохасининг чегаралардаги берилган функциялари, дастлаб каралаётган x ва y тугри чизиклар буйича x_iк aкih, y_iк cкj тугун нукталар ёрдамида тур киритамиз. Чизмада чегаравий нукталар «» белгиси билан ички нукталар эса « » белгиси билан белгиланган. Юкорида hк (b-a)/n, к(d-c)/m булиб n,m – мос равишда ox,oy уклар буйича тугун нукталар учун куйидаги тенгламалар уринли булади:
(4) даги иккинчи тартибли хусусий хосилалар урнига керакли чекли айирмали формулаларни куямиз ва куйидаги :

чекли айирмали тенгламаларни хосил киламиз.
Соддалик учун (физик маъносига кура мумкин)

деб олайлик.
У холда (4') тенгламани ечиб,
(5)
n-1 та тенгламадан n1 номаълумдан иборат чизикли алгебраик тенгламалар системасини хосил киламиз. Етишмаган тенгламалар урнига (3) чегаравий шартлардан фойдаланамиз.
Тенгламаларнинг куринишини тахлил килиб, уни такрибий-итерацион усуллар гурухига кирувчи Зейдель усули билан ечиш кулай эканлигини курамиз.
Зейдель усули хакида кискача назарий маълумотлар.
Зейдель усули 1874 йилда таникли немис математиги Ф. Зейдель томонидан ишлаб чикилган булиб, уни итерация усулининг такомиллашган куриниши деб кабул килиш мумкин. Шунинг учун бу усулни купинча итерация усули деб хам юритилади.
Усулнинг мохиятига кура номаълум ечимларни топиш учун
(10)
итерацион формулалардан фойдаланилади. Бунда кавслар ичига ёзилган юкори индекс якинлашиш номерини билдиради. Якинлашишлар сони ортиб борганда, яъни k етарлича катта булганда, ечимлар аник ечимларга интилади.
Итерацияларни max <e, iк1..n-1, jк1..m-1,
шарти бажарилгунча давом эттириш мумкин. Бунда e ихтиёрий, олдиндан танлаб олинадиган кичик сон- ечим аниклиги.
Юкоридаги (10) формулани фойдаланишга кулай куринишда ёзиб олайлик.

Бу ерда лар усулнинг мохиятига кура аввалги якинлашишдаги кийматларни олади.
Дастлабки якинлашиш сифатида ихтиёрий сонларни олишимиз мумкин. Масалан, турнинг барча тугун нукталарида к0 дейишимиз мумкин. Шундан сунг барча якинлашишлар топилади ва ечимнинг аниклигини хар сафар текшириб турилади.