Reja: Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli

6-Misol.

Kengaytirilgan matritsani quyidagi tenglamalar sistemasi ko‘rinishida yozamiz:

Kengaytirilgan matritsaning 1 elementiga x₁, x₂, x ₃ mos kelgani uchun ularni bazis elementlar deb ataymiz. x₄ esa erkli noma’lum deb ataladi.

U holda sistemaning yechimi erkli o‘zgaruvchiga nisbatan quyidagicha topiladi:

Bundan ko‘rinib turibdiki erkli o‘zgaruvchi x₄ ning o‘rniga ixtiyoriy qo‘ysak bo‘ladi. U holda sistema quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

Demak sistema cheksiz ko‘p yechimga ega.

7-Misol.
Tenglamalar sistemasini Gauss usulida yeching:
 3x  y  2z  9
^ x  4 y  z  4
 .
^_2x  3y  3z  11


Yechish. Gauss usuli berilgan tenglamalar sistemadagi noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotishdan iboratdir. Bu usulni qo‘llash oson bo‘lishi uchun 1-chi va 2-chi tenglamalarning o‘rnini almashtiramiz.

	x  4 y  z  4
	3x  y  2z  9 .


^_2x  3y  3z  11

Endi 2-chi va 3-chi tenglamalardan x ni yo‘qotamiz. Buning uchun birinchi tenglamani 3 ga ko‘paytirib, ikkinchi tenglamadan, 2 ga ko‘paytirib, 3-chi tenglamadan ayiramiz va quyidagiga ega bo‘lamiz:

 x  4 y  z  4
^
13y  z 3 .
2-chi tenglamaga 3-chi tenglamani qo‘shib, 3-chi tenglamadan z ni yo‘qotamiz:

 x  4 y  z  4

13y  z 3 .
	 24 y  0


Oxirgi tenglamadan у  0 ekanligi kelib chiqadi. Bu qiymatni 2-chi tenglamaga

qo‘yib z ni aniqlaymiz. Topilgan y va z ni 1-chi tenglamaga qo‘yib topamiz. z=3, x= 1.

Shunday qilib, x = 1, y = 0, z = 3.


Chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish.
Kroneker- Kapelli teoremasi.

Bizga n o‘zgaruvchili quyidagi tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:

(6)
Bu sistemaning kengaytirilgan matritsasi deb quyidagi matritsaga aytiladi:

(7)
Yuqorida qaralgan noma’lumlari soni n ta, tenglamalari soni m ta bo‘lgan (6) sistemani qaraylik. Uning koeffitsentlaridan tuzilgan (7) matritsa va ozod hadlar qo‘shilishidan hosil bo‘lgan kengaytirilgan matritsani qaraylik

, Ravshanki rangA ≤ rangB.