Reja: I bob Kirish

2.2 Metallardagi elektronlarning kvant statistikasi
Metallaradagi elektronlarni ikki xilga ajratib o'rganamiz: 1) bog'langan elektronlar kristall panjar tugunlaridagi ion tarkibiga kiradi; 2) erkin elektronlar metalldagi barcha ionlarga taalluqli. Erkin elektron-lar metall parchasining sirti bilan chegaralangan hajmda harakatlanadi. Metallaming ko'pchilik xossalari, asosan, erkin elektronlar holati bilan aniqlanadi. Metalldagi erkin elektronlar gazini ideal gaz deb • tasavvur etish mumkin. 21.1-rasmda elektron gazi uchun kvant holatlari zichligi AN AW ni energiya W ga bog'liqlik -w, ■Щ grafigi tasvirlangan. Shtrixlangan yuza energiyalari W dan W+AW sohagacha bo'lgan kvant holatlari sonini ‘ ifodalaydi. Rasmdan ko'rinadiki, W ortishi bilan birday ______ ._ AW sohaga mos keluvchi kvant holatlari soni ham ortib boradi. Boshqacha aytganda, kvant holatlarga mos keluvchi energetik sathlar W kattaroq bo'lganda zichroq .---------- joylashadi (21.2-rasm). Elektron spini + — ga teng bo'lgani uchun ularni rasm' 2 energetik sathlar bo'yicha taqsimknishi Fermi-Dirak taqsimoti (21.7) ga bo'ysunadi. Agar elektron gazning T=OK haroratdagi kimyoviy potensialini ju0 bilan belgilasak, W energiyali kvant holatdagi elektronlarning o'rtacha soni (N(w))=—-------------- (21.8) e /л т +1 munosabat bilan aniqlanadi. 21.3-rasmda bu funksiyaning T—OK haroratdagi grafigi tasvirlangan: energiyasi 0 dan ju0 gacha bo'lgan holatlar uchun =I, energiyasi щ dan , katta bo'lgan holatlar uchun =0. Boshqacha aytganda, OK haroratda ju0 dan pastroq energiyali barcha ruxsat etilgan holatlami elektronlar ishg'ol etgan (bu holatlaming har birida bittadan elektron bor), /л(, dan yuqori В < н (Ф 1 " 21.3-rasm. 255 energiyali holatlar esa batamom bo‘sh bo‘ladi. Demak, Цс,- absolut nol haroratdagi metallda erkin elektronlar ega bo'lishi mumkin bo'lgan maksimal energiyadir. Energiyaning bu qiymatini Fermi energiyasi deb ataladi va W f bilan belgilanadi. Shuning uchun Fermi-Dirak taqsimoti quyidagi ko'rinishda yoziladi: ------- (21.9) e /kt+1 Wf energiyali sathni Fermi sathi deb ataladi. Metallning harorati ortishi bilan elektronlar yuqoriroq energetik sathlarga o'ta , boshlaydi, natijada uiaming holatlar bo'yicha taqsimlanishi ham o'zgaradi. (21.9) ga asosan, ТЮК haroratlar uchun bo'lganda yarimga teng, W > W f bo'lganda yarimdan kichik, W WF (21.10) shart bajarilsa, ixtiyoriy erkin elektron kristall panjara bilan energiya almashinish imkoniyatiga ega bo'ladi. 21.3. Metaliar elektr o'tkazuvchaeligining kvant nazariyasi Zommerfeld Fermi - Dirak statistikasiga asoslangan metallar elektr o'tkazuvchanligi (d) ga oid nazariy hisoblashlami amalga oshirib quyidagi munosabatni hosil qildi: e2nlf e2n r , . . . C7 = --------- yoki G = -------- (T = lr/ v f) (21.11) m vf m Bu ifodadagi e - elektronning zaryadi, n - erkin elektronlar konsentratsiyasi, If - Fermi energiyasiga ega bo'lgan elektronning erkin yugurish o'rtacha masofasi, Vj - fermi energetik sathidagi elektronning issiqlik harakat o'ratacha tezligi, z - relaksatsiya vaqti deyiladi, bu muvozanat vujudga kelgan vaqtni ifodalaydi. Zommerfeld formulasidagi ц - haroratga bog'liq emas, chunki f in in g qiymatiga harorat o'zgarishlari ta’sir etmaydi. Klassik va kvant nazariyalarida erkin yugurish masofasi (lj) turlicha talqin qilinadi. Ma’lumki, klassik nazariyada erkin elektronlar to'plamini elektron gaz deb hisoblanar edi. Bu gazning zarralari - elektronlar o'z yo'lida uchratgan kristall 256 panjara tugunidagi ionlarga urilib turadi. Metailarning elektr qarshiligi ana shu to‘qnashishlar tufayli paydo bo'ladi. Kvant mexanikasiga nuqtayi nazaridan qaraganimizda ideal kristall panjaradagi elektronlar hech qanday to'siqqa uchramasdan harakat qiladi, buning natijasida metallardagi elektr o'tkazuvchanlik cheksiz katta bo'lishi mumkin, lekin kristall panjara hech vaqt ideal sof bo'lmaydi, chunki panjarada doimo ma’lum darajada nuqsonlar (aralashma va vakansiya) bo'ladi. Bu nuqsonlar elektronlarning sochilishiga olib keladi, ya’ni ularning tartibli harakatiga to'sqinlik ko'rsatadi. Bundan tashqari, panjaraning atomlari ham doimo muvozanat vaziyati atrofida tebranib (issiqlik tebranishi hosil qilib) turadi va erkin elektronlar bilan to'qnashadi. Bu sabablar metallarda elektr qarshiligini vujudga keltiradi. Agar metall qancha toza va harorati qancha past bo'lsa, elektr qarshilik shuncha kam bo'ladi. Metailarning solishtirma elektr qarshiligi ikki had yig'indisi tarzida ifodalanadi: P Pteh Paralash (21.12) bundagi Pu-i, - panjaraning issiqlik tebranishlari tufayli vujudga keladigan qarshilik, Pmaiash - aralashma atomlarida elektron to'lqinlaming sochilishi tufayli vujudga keladigan qarshilik. Temaperatura ortgan sari elektron to'lqinlaming panjara issiqlik tebranishlarida sochilishi ortadi, ya’ni elektronlarning erkin yugurish o'rtacha masofasi /^kamayadi, o'tkazuvchanlik ham kamayadi, pteb ortadi. Harorat T-Л da р,сь—bo'ladi, ammo p ^Paraiash Odatda, parai„,i, ni qoldiq qarshilik deb ham yuritildi, chunki u deyarli haroratga bog'liq bo'lmagani uchun OK da ham uning qiymati o'zgarmay qoladi.