Режа Интеграл тенгламалар ва уларнинг турлари

1.2. Волътерра тенгламаларига келтириладиган баъзи масалалар
а) Абель масаласи. Моддий нуқта ўзининг оғирлик кучи таъсири остида вертикал текисликда жойлашган бирор силлиқ эгри чизиқ бўлиб унинг ординатаси h га тенг бўлган ихтиёрий М нуқтасидан ординатаси 0 га тенг бўлган энг қуйи О нуқтасигача бошланғич тезликсиз ( – берилган функция) вақт ичида етиб келган бўлсин. Шу эгри чизиқни топинг.
Е ч и ш. изланган эгри чизиқнинг энг қуйи O нуқтасини координаталар боши учун қабул қиламиз ва OX ўқни горизантал, OY ўқни эса вертикал йўналтирамиз. Бу эгри чизиқнинг тенгламасини кўринишида излаймиз.
Агар эгри чизиқнинг ёй элементини ds билан белгиласак,

бўлади.
h баландликдан тушаётган нуқтанинг массасини m билан, тезлигини v билан белгиласак, моддий нуқта бошланғич M нуқтадан ихтиёрий N нуқтагача ҳаракатланганда (1-чизма) унинг кинетиk энергиясининг ўзгариши оғирлик кучининг бажарган ишига тенг бўлади яъни

Тенгликка эга бўламиз, бунда g – эркин тушиш тезланиши, mg эса оғирлик кучидир. Агар эканини назарга олсак, охирги тенгликдан қуйдагига эга бўламиз:

Бундан

(Бу тенгликда t ўсиши билан нуқтанинг ординатаси y нинг камайиши минус ишора билан ҳисобга олинган.)
M нуқтадан O нуқтага тушиш (ўтиш) вақти y нинг h дан O гача ўзгаришига мос келганлиги сабабли охирги тенгликдан қуйдагига эга бўламиз:

Бу ерда

Деб белгиласак, масала ушбу

Биринчи тур чизиқли интеграл тенгламанинг ечимини топишга келтирилади. Бу тенглама Абель номи билан юритилади.
б) Коши масаласи. Ушбу

n– тартибли чизиқли дифферинсиал тенгламанинг

бошланғич шартларини қаноатлантирувчи ечимини топинг, бу ерда ва лар сегментда узлуксиз функциялар бўлиб, лар эса ўзгармас сонлардир.
Бу масалани ечиш иккинчи тур Волътерра интеграл тенгламасининг ечимини топпиш масаласига келтирилиши мумкин. Яққоллик учун биз тегишли ҳисоблашларни бўлганда амалга оширамиз.
Ушбу

Тенглама ва

Бошланғич шартлар берилган бўлсин. Бу масалага мос интеграл тенглама тузиш мақсадида

Белгилаш киритамиз. Агар маълум функция бўлса (*) ни кетма – кет икки марта интеграллаб ва (1.18) ни ҳисобга олиб (1.17) дифференциал тенгламанинг тегишли ечимини топпиш мумкин. Энди (*) ни интеграллаб топамиз:

(1.18) шартдан фойдаланиб, ни аниқлаймиз:

Яъни
Шунинг учун қуйдагига эгамиз:

Бу тенгликнинг иккала томонини интеграллаб топмиз:

Бундан бўлганда (1.18) га кўра

Келиб чиқади. Шунга асосан,

Равшанки,

Демак,

ва у лар учун топилган ифодаларни (1.17) тенгламага қўйиб, уни қуйдаги Волътерра тенгламасига келтирамиз:

Бунда


Демак, (1.17) тенглама учун коши масаласи иккинчи тур чизиқли Волътерра тенгламасини ечиш масаласига келтирилади.

1. 
   М.Салоҳиддинов “Интеграл тенгламалар”.
   
2. 
   М.Л.Красанов “Интегралние уравнения”, Наука М:1975
   
3. 
   Ш.Т.Мақсудов “Чизиқли интеграл тенгламалар элементлари” Тошкент “Ўқитувчи” 1975-й.