Reja: kirish asosiy qism 1

4. Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari
va bo‘lsin. U holda funksiya erkli argumenti
dan va oraliq argumenti dan iborat murakkab funksiya bo‘ladi.
2-teorema. Agar funksiya nuqtada hosilaga ega bo‘lsa va funksiya mos nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda murakkab funksiya nuqtada differensiallanuvchi va

bo‘ladi.
Isboti. funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lgani uchun
bo‘ladi. Bundan .
funksiya nuqtada hosilaga ega. Shu sababli funksiya
nuqtada uzluksiz va da .
U holda

Bundan yoki
.
Shunday qilib, , ya’ni murakkab funksiyaning hosilasi berilgan funksiyaning oraliq argument bo‘yicha hosilasi bilan oraliq argumentning erkli argument bo‘yicha hosilasining ko‘paytmasiga teng.
Bu qoida oraliq argumentlar bir nechta bo‘lganda ham o‘z kuchida qoladi.
Masalan, bo‘lsa, bo‘ladi.

Parametrik va oshkormas ko‘rinishda berilgan

funksiyalarni differensiyallash
intervalda o’zgaruvchining va funksiyalari biror intervalda aniqlangan bo‘lib, bu intervalda , hosilalar va funksiyaga teskari funksiya mavjud bo‘lsin. Agar funksiya qat’iy monoton bo‘lsa, teskari funksiya bir qiymatli, uzluksiz va qat’iy monoton bo‘ladi. Shu sababli murakkab funksiya mavjud bo‘ladi. Bunda funksiya va tenglamalar bilan parametrik ko’rinishda ( parametrli) berilgan deyiladi.
funksiya

parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsin. U holda teskari funksiya mavjud va uning hosilasi . Shuningdek murakkab funksiya hosilasi bo‘ladi.
Bundan
yoki . (1)
Misol. funksiya uchun ni topamiz:

Agar funksiya ga nisbatan yechilmagan, ya’ni ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, funksiya oshkormas ko’rinishda berilgan deyiladi.
Oshkor berilgan har qanday funksiyani oshkormas ko‘rinishda kabi yozish mumkin, ammo teskarisini hamma vaqt bajarib bo‘lmaydi, tenglamani ga nisbatan yechish hamma vaqt ham oson emas, ayrim hollarda esa umuman mumkin emas.
Funksiya oshkormas ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, funksiya ning murakkab funksiyasi deb qaraladi va tenglikning chap va o‘ng tomoni
bo‘yicha differensiyalanadi, so‘ngra hosil bo’lgan tenglamadan topiladi.
Misol. funksiya uchun ni topamiz. Bunda tenglikning har ikkala tomonini bo’yicha differensiallaymiz:
.
Bundan
,
yoki

Parametrik va oshkormas ko‘rinishda berilgan

funksiyalarni differensiyallash
intervalda o’zgaruvchining va funksiyalari biror intervalda aniqlangan bo‘lib, bu intervalda , hosilalar va funksiyaga teskari funksiya mavjud bo‘lsin. Agar funksiya qat’iy monoton bo‘lsa, teskari funksiya bir qiymatli, uzluksiz va qat’iy monoton bo‘ladi. Shu sababli murakkab funksiya mavjud bo‘ladi. Bunda funksiya va tenglamalar bilan parametrik ko’rinishda ( parametrli) berilgan deyiladi.
funksiya

parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsin. U holda teskari funksiya mavjud va uning hosilasi . Shuningdek murakkab funksiya hosilasi bo‘ladi.
Bundan
yoki . (2)
Misol. funksiya uchun ni topamiz:

Agar funksiya ga nisbatan yechilmagan, ya’ni ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, funksiya oshkormas ko’rinishda berilgan deyiladi.
Oshkor berilgan har qanday funksiyani oshkormas ko‘rinishda kabi yozish mumkin, ammo teskarisini hamma vaqt bajarib bo‘lmaydi, tenglamani ga nisbatan yechish hamma vaqt ham oson emas, ayrim hollarda esa umuman mumkin emas.
Funksiya oshkormas ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, funksiya ning murakkab funksiyasi deb qaraladi va tenglikning chap va o‘ng tomoni
bo‘yicha differensiyalanadi, so‘ngra hosil bo’lgan tenglamadan topiladi.
Hosila jadvali (Umumiy hol).
u=u(x), v=v(x) funksiyalar differensiallanuvchi funksiyaiar bo’lsin.

1.C'=0; C-o’zgarmas 2. x'=1, x-argument 3. (u^n)'= nu^n-1u’. (n N ,u>0) 4. 5. 6. (a^u)'= a^u1na·u'; (a>0; a≠1) 7. (e^u)'=e^uu'

8. (logau)'= (u>0; a>0; a≠1) 9. (1nu)'= 10. (sinu)'=cosu·u' 11. (cosu)'=-sinu·u' 12. (tgu)'= 13. (ctgu)'= 14. (arcsinu)'=

15. (arccosu)'= - 16. (arctgu)’= 17. (arcctgu)'= - .

¹²Yuqori tartibli hosila.
Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda bu funksiyaning hosilasi f'(x) umuman aytganda yana x ning funksiyasi bo’ladi. Shuning uchun undan x bo’yicha hosila olsak, hosil bo’lgan hosilaga berilgan funksiyadan olingan ikkinchi tartibli hosila deyiladi va y^" yoki f "(x) lar bilan belgilanadi. Shunday qilib y=f(x) funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi
y"=f"(x)=(y')'=(f'(x))'.
y"=f "(x) ikkinchi tartibli hosiladan olingan hosilaga y=f(x) funksiyaning uchinchi tartibli hosilasi deyiladi:
y'''=f'"(x)=(f"(x))'
Shu jarayonni n marta davom ettirsak y=f(x) funksiyaning n tartibli hosilasi
y⁽ⁿ⁾=f⁽ⁿ⁾(x)=(y^n-1)'=(f^(n-i)(x))' ko’rinishda bo’ladi.


XULOSA
Xulosa qilib aytadigan bo’lsak, hosila mаtеmаtikаning asosiy tushunchаlаridаn biri hisoblanadi. Hosila matematika, fizika va boshqa fanlarning bir qancha masalalarini yechishda, xususan har xil jarayonlarning tezliklarini o‘rganishda keng qo‘llaniladi.
Hosila — differensial hisobning asosiy tushunchasi. U funksiya oʻzgarishi tezligini ifodalaydi. x0 nuqtaning atrofida berilgan f(x) nuqta uchun mavjud boʻlsa, u funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi deyiladi Va oʻ(x0) kabi belgilanadi. Ushbu miqdorlar funksiyaning x0 nuqtadagi oʻng va chap hosilalari deyiladi va oʻ(x+0),/’(x—0) kabi belgilanadi. Masalan, /(x)=\x\ funksiyaning x0=0 nuqtadagi o`ng va chap hosilalari mos ravishda f(+0)=1, L—0)=—1 boʻladi. f(x) funksiya x0nuqtada hosilaga ega bo`lishi uchun f(x0+0) va f(x0—0) funksiyalar mavjud bo`lib, ular oʻzaro teng boʻlishi zarur va yetarli. Kompleks oʻzgaruvchili funksiyalarda ham hosila tushunchasi shunga oʻxshash kiritiladi. Asosiy elementar funksiyalarning hosilalarini topishda keltirilgan ekvivalent cheksiz kichik funksiyalardan, teskari va murakkab funksiyalarni differensiallash formulalaridan hamda yig‘indi, ayirma, ko‘paytma va bo‘linmani differensiallash qoidalaridan foydalanamiz.