Reja: Kirish. Mavzuni dolzarbligi

Isbot. Teoremani isbotlash uchun ikki vektor yig’indisining proyeksiyasi haqidagi xossadan foydalanamiz:

Teorema. Agar xOy sistemada vektor boshining koordinatalari {x_1, y₁} va oxirining koordinatalari {x_2, y₂} bo’lsa, vektorning koordinatalari {x₁ x_2, y₁ y₂} bo’ladi. Ya’ni


Isbot. Chizmaga asosan, . Bundan esa .
Tekislikda affin va qutb koordinatalar sistemasi.

Fazoda yoki tekislikda affin koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta bazis va bitta nuqta tanlanadi. Agar { } bazis va О nuqta berilgan bo'lsa, vektorning { } bazisdagi koordinatalari M nuqtaning affin koordinatalari deyiladi.

1 -ta’rif. Berilgan , { } bazis uchun
(
tengliklar bajarilsa, { } ortonormal bazis deyiladi.
2-ta ’rif. Ortonormal bazis yordamida berilgan koordinatalar sistemasi
to ‘g ‘ri burchakli yoki dekart koordinatalar sistemasi deb ataladi.

Teorema. Dekart koordinatalar sistemasida vektoming berilgan bazisdagi koordinatalari, uning koordinatalar о ‘qlariga tushirilgan proeksiyalari bilan ustma-ust tushadi.
Isbot. Bizga { } ortonormal bazis berilgan bo‘lsa, ularning boshlarini О nuqtaga joylashtirib OXYZ koordintalar sistemasini kiritaylik. Agar
= + у + z
bo‘lsa, vektoming boshini koordinata boshiga joylashtirib, uning oxirini M bilan belgilaymiz. Agar M nuqtaning koordinata o'qlariga ortogonal proeksiyalarini А, В, С harflari bilan belgilasak = x , = y , = z tengliklarni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan , , kesmalarning kattaliklari mos ravishda x, y, z sonlariga teng bo‘lgani uchun x = pr_Ox ,
y = pr_Oy , z = pr_Oz munosabatlarni hosil qilamiz.