Reja: Kirish. Mavzuni dolzarbligi
-natija. Pri( )=pr I + pr i Isbot
Download 390.57 Kb.
|
4-mavzu kordinatalar sistemasini kiritish va ularni almashtiris
- Bu sahifa navigatsiya:
- Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini almashtirish
1-natija. Pri( )=pr I + pr i
Isbot. Bizga , o‘q berilgan bo'lsin: shunday OXYZ koordinatalar sistemasi kiritamizki, OX koordinata o‘qi bilan ustma-ust tushsin. Agar bo‘lsa, teoremaga ko‘ra pr I =xa va pr I =xb , pr I ( )=xa+b tengliklami hosil qilamiz. Lekin vektorlarni qo'shganda ularning koordinatalari mos ravishda qo‘shilgani uchun pr I ( )=xa+xb munosabatni olamiz. Tekislikda kutb koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta О nuqtani va bu nuqtadan o‘tuvchi o‘qni tanlab olamiz. Tanlangan nuqtani qutb boshi, o‘qni esa qutb o‘qi deb ataymiz va uni bilan belgilaymiz. Tekislikda berilgan ixtiyoriy O nuqtadan farqli M nuqta uchun bilan masofani, ( bilan esa o‘q bilan OM nur orasidagi burchakni belgilaymiz. Bu kattaliklar M nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va M( , ) ko'rinishda belgilanadi. Tekislikning О nuqtadan farqli nuqtalari bilan qutb koordinatalari o‘rtasidagi moslik o‘zaro bir qiymatli bo‘lishi uchun va kattaliklar uchun quyidagi chegara qo'yiladi: 0< < + , 0 <2 Agar (.x ,y ) D ekart koordinatalar sistemasini 4-rasmdagidek kiritsak, quyidagi x = , y = bog'lanishlarni olamiz.Berilgan M nuqtaning Dekart koordinatalari ma’lum bo'lsa, uning qutb koordinatalarini topish uchun formula bo‘yicha birinchi qutb koordinatani topamiz.Ikinchi qutb koordinatani topish uchun M nuqtaning qaysi chorakda joylashganligini bilishimiz kerak va tengliklardan foydalanishimiz kerak. Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini almashtirish Orientasiya: Bir vektordan ikkinchisiga qisqa burilish yo‘nalishi soat strelkasi yo‘nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, bu vektorlar o‘ng ikkilik, aks holda chap ikkilik tashkil qiladi deyiladi. Bazis sifatida biror ikkilik tanlansa, biz orientatsiya tanlab olingan deb hisoblaymiz. Bizga { va { ortonormal bazislar berilgan bo'lsin. Bu bazislar yordamida kiritilgan Dekart koordinatalar sistemasilarini mos ravishda O xy va O 'x'y' bilan belgilaylik. Nuqtaning “eski” va “yangi” koordinatalari orasidagi bog'lanishni topamiz. “Yangi” koordinatalar sistemasi markazining “eski” koordinata sistemasidagi koordinatalarini (a, b) bilan belgilaylik. Tekislikda M nuqta berilgan bo‘lib,uning Oxy va O 'x'y' sistemalardagi koordinatalari mos ravishda (x ,y ) va {x',y') juftliklardan iborat bo'lsin. Biz quyidagi tengliklarga ega bo`lamiz: = x + y , O 'M = x' ' + y ’ ' , = a + b Har bir vektorni { } bazis orqali ifodalash mumkinligi uchun (1) munosabatlarni hosil qilamiz. Bu ifodalarni = ' + , = tengliklarga qo‘yib = tenglikni hosil qilamiz. Bazis vektorlari { } chiziqli erkli oilani tashkil etganligi uchun yuqoridagi munosabatdan x = a11x'+a12y'+a y=a21x'+a22y'+b (2) formulalami olamiz. Endi aij koeffitsientlarni topish uchun ikkita holni qaraymiz. Birinchi hol: { } va { } bazislar bir xil orientatsiyaga ega: Bu holda agar bilan va vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, va ' vektorlar orasidagi burchak ham ga teng bo‘ladi. Yuqoridagi (1) tengliklarning har ikkalasini va vektorlarga skalyar ko‘paytirib, , , , formulalarni olamiz. Agar { } va { } bazislar har xil orientatsiyaga ega bo‘lsa, va vektorlar orasidagi burchak ga teng bo'ladi. Bu holda (1) tengliklarning har birini vektorlarga skalyar ko'paytirib , , , formulalarni hosil qilamiz. Bu formulalarni (2) formulalarga qo‘yib, mos ravishda quyidagi ikkita formulalarni olamiz: (3) Bu holda o’tish determinanti uchun tenglik o'rinli. Ikkinchi holda bazislaming orientatsiyalari har xil va koordinatalarni almashtirish formulalari ko‘rinishda bo'ladi. Bu holda o‘tish determinanti uchun ' tenglik o‘rinli bo'ladi. Demak, koordinatalar sistemesini almashtirganimizda o‘tish matritsasining determinanti musbat bo‘lsa, oriyentatsiya o'zgarm aydi. Agar o‘tish matritsasining determinanti manfiy bo‘lsa, oriyentatsiya qarama- qarshi oriyentatsiyaga o‘zgaradi. Download 390.57 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling