Reja: Kirish Sonli qatorlar va ularning yaqinlashuvchiligi

2. Musbat hadli qatorlar


2.1. Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashuvchiligi.
Faraz qilaylik,
(2.1)
qator berilgan bo‘lsin.
Agar bu qatorda bo‘lsa, (2.1) musbat hadli qator deyiladi.
Musbat hadli qatorlarda, ularning qismiy yig’indilaridan iborat ketma-ketlik o‘suvchi ketma-ketlik bo‘ladi. Xaqiqatan ham,


.
2.1-teorema. Musbat hadli

qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun

ketma-ketlikning yuqoridan chеgaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. (2.1) qator yaqinlashuvchi bo‘lsin. Unda da ketma-ketlik chеkli limitga ega bo‘ladi. Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossasiga ko‘ra chеgaralangan, jumladan yuqoridan, chеgaralangan bo‘ladi.
Yetarliligi. ketma-ketlik yuqoridan chеgaralangan bo‘lsin. Unda monoton ketma-ketlikning limiti xaqidagi teoremaga ko‘ra ketma-ketlik da chеkli limitga ega bo‘ladi. Demak, (2.1) qator yaqinlashuvchi.
Eslatma. Agar

musbat hadli qatorda, uning qismiy yig’indilaridan iborat ketma-ketlik yuqoridan chеgaralanmagan bo‘lsa, u holda qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Musbat hadli qatorlarda takkoslash teoremalari.
Ikkita


musbat hadli qatorlar berilgan bo‘lsin.
2.2-teorema. Faraz qilaylik va qatorlar uchun da
(2.2)
tengsizlik bajarilsin.
U holda:
1) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi,
2) qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Isbot. va qatorlarning qismiy yig’indilari mos ravishda
,

bo‘lsin. U holda (2.2) munosabatga ko‘ra
(2.3)
bo‘ladi.
Aytaylik, qator yaqinlashuvchi bo‘lsin. Unda 2.1-teoremaga binoan ketma-ketlik yuqoridan chеgaralangan bo‘ladi.Ayni paytda, (2.3) munosabatni e'tiborga olib, ketma-ketlikning ham yuqoridan chеgaralangan bo‘lishini topamiz. Ya’na 1-teoremaga ko‘ra qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Aytaylik, qator uzoqlashuvchi bo‘lsin. Unda (2.3) munosabat va eslatmadan foydalanib, qatorning uzoklashuvchi bo‘lishini topamiz.
2.1-misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tеkshirilsin.
Ravshanki, bu qator hadlari uchun

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Natijada berilgan qatorning har bir hadi yaqinlashuvchi qatorning (gеomеtrik qatorning) mos hadidan kichik. 2.2-teoremaga muvofiq berilgan qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.