Reja: Kirish Sonli qatorlar va ularning yaqinlashuvchiligi

2.3-teorema. Faraz qilaylik, musbat hadli va qatorlarning umumiy hadlari uchun

bo‘lsin. U holda
1) bo‘lib, qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
2) bo‘lib, qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, bo‘lib, qator yaqinlashuvchi bo‘lsin.
Ravshanki,
:

bundan esa, qator yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun 2-teoremaga ko‘ra qatorning yaqinlashuvchiligi kеlib chiqishini topmaiz.
Aytaylik, bo‘lib, qator uzoqlashuvchi bo‘lsin.
Ravshanki, va bo‘lishidan uchun ya'ni bo‘lishi kеlib chiqiadi. 2-teoremadan foydalanib qatorning uzoqlashuvchi bo‘lishini topamiz.
Natija. Musbat hadli va qatorlar uchun

bo‘lsa, u holda va qatorlar bir vaqtda yoki yaqinlashuvchi bo‘ladi yoki uzoqlashuvchi bo‘ladi.
3. Musbat hadli qatorlarda yaqinlashish alomatlari
Musbat hadli qatorlar mavzusida bayon etilgan takkoslash teoremalaridan foydalanib, yaqinlashish alomatlarini kеltiramiz.
Koshi alomati. Agar musbat hadli
(3.1)
qatorda barcha uchun
(3.2)
bo‘lsa, (3.1) qator yaqinlashuvchi bo‘ladi;
(3.3)
bo‘lsa, (3.1) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, (3.1) qator hadlari uchun

bo‘lsin. Ravshanki, bu tengsizlikdan

bo‘lishi kеlib chiqiadi.
Demak, berilgan qatorning har bir hadi yaqinlashuvchi gеomеtrik qatorning mos hadidan katta emas. Unda taqqoslash teoremasiga ko‘ra (3.1) qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Aytaylik, (3.1) qator hadlari uchun
, ya'ni
bo‘lsin. Bu munosabat berilgan qatorning har bir hadini uzoqlashuvchi

qatorning mos hadidan kichik emasligini ko‘rsatadi. Bu holda yana o‘sha taqqoslash teoremasiga ko‘ra (3.1) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Ko‘pincha Koshi alomatining kuyida kеltirilgan limit ko‘rinishidagi tasdig’idan foydalaniladi.
Faraz qilaylik, musbat hadli (3.1) qatorda

mavjud bo‘lsin. U holda :

1. 
   bo‘lganda (3.1) qator yaqinlashuvchi bo‘ladi,
   
2. 
   bo‘lganda (3.1) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
   

3.1-misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tеkshirilsin.
Bu qatorning umumiy hadi

bo‘lib, uning uchun

bo‘ladi. Ravshanki,
.
demak, , berilgan qator yaqinlashuvchi.