Reja: Kirish Tekis egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash

REJA:
Kirish
1.Tekis egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash.
1.Aylanish sirti yuzasini hisoblash.
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati.

KIRISH
Matematika fani miqdorlar haqidagi aniq abstrakt fan bo'lib, u tevarak-atrofimizni qurshab olgan moddiy dunyoning miqdoriy munosabatlarini va fazoviy shakllarini o'rganadi. Uning aniqligi qoilaydigan metodlarining qat'iy mantiqiy mulohazalarga asoslanganligi va xulosalarining qat'iy mantiqiy shaklda jamlanganligi bilan tavsiflanadi, abstraktligi esa tushunchalarining u yoki bu tabiiy (fizika, kimyoviy, biologik, iqtisodiy va hokazo) jarayonni analiz qilish maqsadida yaratilgan mantiqiy modellar ekanligi bilan xarakterlanadi.
Matematikaning fan sifatida shakllanishida va tarixiy taraqqiyoti jarayonida geometriya hamda fizikaning, ayniqsa, mexanikaning xizmatlari beqiyos darajada katta bo'Igan. Buning dalili sifatida asosiy matematik tushunchalarning kelib chiqishiga bir nazar tashlash kifoya. Narsalarni sanash, geometrik va fizik kattaliklarni o'lchash jarayonida son tushunchasi, moddiy nuqtaning mexanik harakatini o'rganish jarayonida esa funksiya tushunchasi paydo bo'Igan. Harakatdagi moddiy nuqtaning oniy tezligini aniqlash masalasi hosila tushunchasiga, hosilalarni hisoblash masalasi esa funksiya limiti va uzhiksizligi tushunchalariga olib keldi. Harakatdagi moddiy nuqtaning tezligiga ko'ra uning harakat qonunini tiklash masalasi boshlang'ich funksiya va aniqmas integral tushunchalarining, egri chiziqli trapetsiya yuzini hisoblash va harakatdagi moddiy nuqtaning berilgan vaqt oralig'ida bosib o'tgan yo'lini hisoblash masalalari esa aniq integral tushunchasining vujudga kelishiga sabab bo'ldi. Siz bu tushunchalar bilan dastlabki tarzda maktab, kollej, litsey matematika kurslarida tanishgansiz.
Oliy ta'lim muassasalarida o'qitiladigan fizika va astronomiyaga oid fanlar yuqorida aytilgan matematik tushunchalarni mukammal bilishni va boshqa bir qator yangi mamematik tushunchalami va matematik metodlarni o'rganishni talab qiladi.
 Tekis egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash
T ekislikda  egri chiziq  kesmada uzluksiz funksiya grafigi bilan berilgan bo‘lsin.  egri chiziq uzunligini  sxemadan foydalangan holda topamiz.
kesmada ixtiyoriy  qiymatni tanlaymiz va o‘zgaruvchi  kesmani qaraymiz. Bu kesmada  kattalik  ning funksiyasi bo‘ladi:  va 
ning kichik  kattalikka o‘zgarishida  differensialni topamiz: yoyni uni tortib turuvchi vatar bilan almashtiramiz (14-shakl) va  ni topamiz:

Demak,  yoki ekanidan
ni  dan  gacha integrallab, topamiz:
(17.8)
(17.8) tenglikka yoy differensialining to‘g‘ri burchakli koordinatalardagi formulasi deyiladi.
Agar egri chiziq tenglama bilan berilgan bo‘lsa, yuqorida keltirilganlarni takrorlab, yoy uzunligini hisoblashning quyidagi formulasini hosil qilamiz:
. (17.9)
Agar egri chiziq  parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa, (8) formulada  o‘riniga qo‘yish orqali o‘zgaruvchi almashtiriladi.
Bunda
(17.10)
kelib chiqadi, bu yerda  va  .
Misollar
1..  yarim kubik parabolaning  dan  gacha yoyi uzunligini topamiz. Bunda dan kelib chiqadi.
U holda (8) formula bilan topamiz:

2.  egri chiziq yoyining  o‘q bilan kesishish nuqtalari orasidagi uzunligini hisoblaymiz. Buning uchun avval deb egri chiziqning  oq bilan kesishish nuqtalarini aniqlaymiz:
Hosilani topamiz:

Yoy uzunligini hisoblaymiz:


3.   tenglama bilan berigan egri chiziq uzunligini topamiz. Berilgan tenglama astroidani ifodalaydi.
Astroidaning uzunligini (17.10) formula bilan topamiz:



Aylanish sirti yuzasini hisoblash
egri chiziq  funksiyaning grafigi bo‘lsin. Bunda  funksiya va uning hosilasi bu kesmada uluksiz bo‘lsin.
egri chiziqning  o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jism sirti yuzasini hisoblaymiz. Buning uchun  sxemani qo‘llaymiz.
Istalgan  nuqta orqali  o‘qqa perpendikular tekislik o‘tkazamiz. Bu tekislik aylanish sirtini radiusi  bo‘lgan aylana bo‘ylab kesadi (15-shakl). Bunda aylanish sirtidan iborat  kattalik  ning funksiyasi bo‘ladi:  va 
argumentga  orttirma beramiz va   nuqta orqali   o‘qqa perpendikular tekislik o‘tkazamiz. Bunda  funksiya «belbog‘» ko‘rinishida   orttirma oladi.
Kesimlar orasidagi jismni yasovchisi  bo‘lgan va asoslarining radiuslari va  bo‘lgan kesik konus bilan almashtiramiz. Bu kesik konusning yon sirti  ga teng.  ko‘paytmani  ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik sifatida tashlab yuboramiz:  . Bunda  ekanini hisobga olamiz:
ni  dan  gacha integrallab, topamiz:
(17.13)
Shu kabi  ,   funksiya grafigining  o‘q atrofida aylantirshdan hosil bo‘lgan jism sirtining yuzasi ushbu
(17.14)
formula bilan hisoblanadi.
Agar sirt  parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa, u holda  egri chiziqning  o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan
jism sirti yuzasi quyidagicha hisoblanadi:
(17.15)
bu yerda  va  ( va  ).
Misollar
1. Radiusi  ga teng bo‘lgan shar sirti yuzaini hisoblaymiz..Shar parametrik tenglamasi     bo‘lgan yarim aylananing  o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘ladi. Sharning koordinata o‘qlariga simmetrik bo‘lishini inobatga olib, hisoblaymiz:

.
2. zanjir chizig‘i  dan  gacha bo‘lagining o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan sirt yuzasini hisoblaymiz (16-shakl).
Buning uchun avval hosilani va  ifodani topamiz. 
U holda (17.13) formulaga ko‘ra


3. parabola bo‘lagining  to‘g‘ri chiziq bilan kesilgan qismining o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan sirt yuzasini hisoblaymiz (17-s hakl). Misol shartidan topamiz: 
(17.14) formula bilan topamiz:

Xulosa

Shu bilan bir qatorda, zamonaviy texnologiyalar imkoniyatlarini butunlay inkor etib bo‘lmaydi. Axir zamonaviy texnologiyalar ham insonlar og‘irini yengil, mashaqqatini oson qilish, qimmatli vaqtini tejash maqsadida ishlab chiqarilmoqda-ku. Ular hisob-kitob, rejalashtirish, modellashtirish jarayonida insonlarga katta yordam bermoqda. Albatta, qo‘shish-ayirish, ko‘paytirish-bo‘lish kabi eng muhim amallarni har bir o‘quvchi mustaqil bajara olishi qat’iy talab sifatida belgilanishi shart. Ammo ayrim o‘rinlarda (har doim ham emas), muayyan mavzularni o‘tishda ularni zamonaviy elektron qurilmalar bilan bog‘liq holda tushuntirish o‘quvchilar o‘zlariga yaxshi tanish va qiziq bo‘lgan ma’lumotlarni zarur va foydali bo‘lganlari bilan bog‘langan holda eslab qolishlari mumkin. Bu xotirani mustahkamlashda qo‘llaniladigan mnemonikaning ayni o‘zidir. Ya’ni, biror akademik bilim doimiy xotiradan o‘rin olgan boshqa bir ma’lumot bilan birgalikda eslab qolinadi. Shunda qaysidir biri yodga olinganida, ikkinchisi beixtiyor esga tushadi.