Reja: Kirish Umumlashgan funksiyaga ko`paytirish Umumlashgan funksiyalarni differensiallash

2. Umumlashgan funksiyalarni differensiallash
Umumlashgan funksiyalar bir qator qulay hossalarga egadir. Masalan, hosila tushunchasini tegishli ma`noda umumlashtirish ixtiyoriy umumlashgan funksiyalarning cheksiz differensiallanuvchi bo`lishligini ta`minlaydi va umumlashgan funksiyalardan tashkil topgan yaqinlashuvchi qatorni cheksiz marta hadma-had differensiallash mumkin bo`lishligini bildiradi.


2.1. Umumlashgan funksiyaning hosilasi.
bo`lgan funksiya bo`lsin. U holda ixtiyoriy , multiindeks va ixtiyoriy uchun
bo`laklab integrallash formulasi o`rinli bo`ladi. Bu tenglikni biz umumlashgan funksiyaning (umumlashgan) hosilasining ta`rifi sifatida qabul qilamiz. Shunga ko`ra, umumlashgan hosila ixtiyoriy uchun
(3)
tenglik bilan kiritiladi.
Endi umumlashgan funksiya bo`lishligini tekshiramiz. Haqiqatdan ham, agar bo`lsa, u holda funksional (3) formulaning o`ng qismi bilan aniqlangan bo`lsa, u holda


chiziqli bo`ladi. Shuningdek, agar da fazoda yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda

yaqinlashuvchi ekanligini hosil qilamiz, ya`ni funksional uzluksiz ham bo`ladi.
Xususan, umumlashgan funksiya uchun (3) tenglik ixtiyoriy uchun

shaklida bo`ladi.
Bu ta`rifdan, agar umumlashgan funksiya bo`lgan ochiq to`plamda sinfga qarashli bo`lsa, u holda uchun umumlashgan hosila va klassik ma`nodagi hosilalar shu ochiq to`plamda ustma-ust tushadi, ya`ni va uchun tenglik o`rinli bo`ladi.


2.2. Umumlashgan hosilaning xossalari.
Umumlashgan funksiyalarni differensiallash amali quyidagi xossalarga egadir:
a) differensiallash amali fazoni fazoga akslantiruvchi chiziqli va uzluksiz operator bo`ladi. Shunga ko`ra, ixtiyoriy umumlashgan funksiya uchun

tenglik o`rinli bo`ladi. Bu chiziqlilik xossasini isbot qilamiz. Haqiqatdan ham ixtiyoriy uchun


tenglik o`rinli bo`ladi.
Agar da fazoda yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda da fazoda yaqinlashuvchi bo`ladi. Bu uzluksizlik hossasini ham isbot qilamiz. da fazoda yaqinlashuvchi bo`lsin. U holda ixtiyoriy uchun da

yaqinlashuvchi bo`ladi. Bu esa da fazoda yaqinlashuvchi bo`lishligini bildiradi.
Masalan, da fazoda
(4)
yaqinlashuvchi bo`ladi.
b) Ixtiyoriy umumlashgan funksiya (xususan, ochiq to`plamda lokal jamlanuvchi ixtiyoriy funksiya) (umumlashgan ma`noda) cheksiz differensiallanuvchi bo`ladi.
Haqiqatdan ham, agar bo`lsa, u holda bo`ladi. Xuddi shuningdek, o`z navbatida bo`ladi va hokazo.
d) Differensiallashning natijasi differensiallashning tartibiga bog`liq emas.
Masalan: ixtiyoriy uchun
(5)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Haqiqatan ham, ixtiyoriy uchun

tenglik o`rinli bo`ladi.
Umuman olganda
(6)
tenglik o`rinlidir.
Haqiqatan ham, ixtiyoriy uchun


tenglik o`rinli va bundan esa (6) tenglik kelib chiqadi.
e) Agar va bo`lsa, u holda ko`paytma funksiyani differensiallash uchun
(7)
Leybnits formulasi o`rinli bo`ladi.
Haqiqatdan ham, agar ixtiyoriy funksiya bo`lsa, u holda



tenglik o`rinli va bundan (7) tenglik uchun kelib chiqadi. Shunga ko`ra, matematik induksiya usulini qo`llab, biz (7) formulani ixtiyoriy multiindeks uchun isbot qilishimiz mumkin bo`ladi.
f) Agar ochiq to`plamda umumlashgan funksiya teng bo`lsa, u holda shu ochiq to`plamda tenglik o`rinli bo`ladi, shunga ko`ra supp supp munosabat o`rinli bo`ladi.
Haqiqatdan ham, agar bo`lsa, u holda bo`ladi. Shunga ko`ra ixtiyoriy funksiya uchun

tenglik o`rinli bo`ladi va bu tenglik uchun ekanligini bildiradi.
g) Agar lokal integrallanuvchi funksiyalardan tuzilgan

qator har bir kompaktda tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda bu qatorni istalgan marta hadma-had differensiallash mumkin va differensiallashdan hosil qilingan qatorlar fazoda yaqinlashuvchi bo`ladi.
Haqiqatdan ham, ixtiyoriy uchun da

tekis yaqinlashuvchi bo`ladi. Shunga ko`ra da fazoda yaqinlashuvchi bo`ladi. Yuqoridagi a) xossaga ko`ra da fazoda

yaqinlashuvchi bo`ladi. Bu esa xossaning tasdig`ini bildiradi.
Ushbu xossadan quyidagi hulosa kelib chiqadi: agar
(8)
tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda
(9)
trigonometrik qator fazoda yaqinlashuvchi bo`ladi.
Haqiqatdan ham, (8) munosabatga ko`ra

qator fazoda tekis yaqinlashuvchidir. Shuning uchun uning tartibli hosilasi fazoda yaqinlashuvchi bo`lib, bu qator esa (9) qator bilan ustma-ust tushadi.