Reja: Kirish Umumlashgan funksiyaga ko`paytirish Umumlashgan funksiyalarni differensiallash

1-teorema. Ixtiyoriy umumlashgan funksiya intervalda boshlang`ich funksiyaga ega va umumlashgan funksiyaning har qanday boshlang`ich funksiyasi (13) formula bilan ifodalanadi, bunda funksiya (12) tenglik orqali aniqlanadi va C – ixtiyoriy o`zgarmas son bo`ladi.
Isbotlangan bu teorema
(14)
differensial tenglamaning fazoga tegishli yechimi mavjudligini tasdiqlaydi va uning umumiy yechimi

ko`rinishida bo`ladi, bundagi umumlashgan funksiya umumlashgan funksiyaning intervaldagi qandaydir boshlang`ich funksiyasi va C – ixtiyoriy o`zgarmas son bo`ladi. Xususan, agar funksiya bo`lsa, u holda (14) tenglamaning fazoga tegishli har qanday yechimi klassik bo`ladi. Masalan, differensial tenglamaning fazoga tegishli yechimi ixtiyoriy o`zgarmas son bo`ladi.
Xuddi shunga o`xshash umumlashgan funksiyaning intervaldagi tenglik bilan kiritilgan - chi tartibli boshlang`ich funksiyasi aniqlanadi. Isbot qilingan teoremani umumlashgan funksiyaning intervaldagi - chi tartibli boshlang`ich funksiyasi uchun rekurrent zanjirga qo`llasak, u holda

tengliklar hosil bo`lib fazoda - chi tartibli boshlang`ich funksiya mavjud va bu boshlang`ich funksiya - tartibli ixtiyoriy polinom aniqligida yagona bo`ladi.


4. Misollar.


1-misol.
(15)
formulalarning o`rinli ekanligini ko`rsatamiz.
Haqiqatdan ham,


tengliklar o`rinli bo`ladi.
(16)
tenglamaning fazodagi umumiy yechimi
(17)
formula orqali aniqlanishini ko`rsatamiz, bunda - ixtiyoriy o`zgarmas sonlar.
Ma`lumki, ixtiyoriy uchun bo`lganda

tengliklar o`rinli bo`lib, bundan uchun

bo`ladi. Demak (17) tenglik orqali aniqlangan umumlashgan funksiya (16) tenglamani qanoatlantiradi.
Endi (17) tenglik orqali aniqlanadigan umumlashgan funksiya fazoda (16) tenglamaning umumiy yechimi bo`lishligini isbot qilamiz. Aytaylik, - asosiy funksiya nuqtaning atrofida 1 ga teng bo`lsin. U holda ixtiyoriy funksiyani
(18)
shaklida tasvirlash mumkin bo`ladi, bunda

bo`lgan funksiyadir. Bu funksiya uchun bo`ladi, chunki bu funksiya finit va cheksiz differensiallanuvchi bo`ladi. Uning nuqtada cheksiz differensiallanuvchi bo`lishligi bu funksiyani shu nuqtaning qandaydir atrofida (bu atrofda bo`ladi) barcha natural sonlar uchun

Teylor formulasiga yoyish mumkinligidan kelib chiqadi.
Shunga ko`ra, agar umumlashgan funksiya (16) tenglamaning yechimi bo`lsa, u holda (18) tenglikka ko`ra


tenglik hosil bo`ladi, bunda . Bu hosil qilingan tenglikdan biz umumlashgan funksiya (16) tenglamaning yechimi bo`lsa, u holda ixtiyoriy funksiya uchun

tenglik o`rinli ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa umumlashgan funksiya fazodagi umumiy yechimi ekanligi kelib chiqadi.
Eslatma. Hosil qilingan natija ixtiyoriy umumlashgan funksiyaning tashuvchisi nuqtadan iborat bo`lganda uni - funksiya va uning shu nuqtadagi hosilalarining chiziqli kombinatsiya orqali ifodalash mumkinligidan bevosita kelib chiqadi.
Shuni alohida ta`kidlash kerakki, lokal integrallanuvchi funksiyalar sinfida (16) tenglama yagona yechimga ega bo`ladi.