Reja: Sonli ketma-ketliklar

1-misol. O`zgarmas sonning limiti shu sonning o`ziga tengligini isbotlang.
Isboti: Faraz qilaylik, berilgan bo`lsin. U holda, har qanday son uchun tengsizlik hosil bo`ladi. Xulosa qilib aytish mumkinki, ixtiyoriy uchun .
2-misol. berilgan bo`lsa, ekanligini isbotlang.
Isboti: Faraz qilaylik, ixtiyoriy haqiqiy son bo`lsin. Quyidagi modulni yozamiz: .
Agar deb olsak, tengsizlikni qanoatlantiruvchi har qanday uchun tengsizlik bajariladi, ya`ni va funktsiyaning nuqtadagi limitining ta`rifiga asosan quyidagi natijaga kelamiz:
.
3-misol. Funktsiya limitining ta`rifidan foydalanib, ni isbot qiling.
Isboti: Funktsiya limitining ta`rifiga asosan, ixtiyoriy son uchun biror son topilib, bo`lganda tengsizlik bajarilishi kerak, ya`ni:
.
Ushbu tengsizlik ni qanday tanlaganda bajarilishini topamiz. Oxirgi tengsizlikdan ko`rinadiki, bajarilsa, tengsizlik ham bajariladi.
Demak, .
6. Limitlar haqidagi asosiy teoremalar
1-teorema. O`zgarmas miqdorning limiti shu o`zgarmasning o`ziga teng, ya`ni: .
Isboti:
.
.
bo`lganligi uchun yoki bo`ladi.
2-teorema. Limitga ega bo`lgan funktsiyalar yig`indisi (ayirmasi) shu funktsiyalar limitlarining yig`indisi (ayirmasi)ga teng, ya`ni:

Isboti: va bo`lsin. Limitning ta`rifiga asosan va lar cheksiz kichik miqdorlardir. Bulardan va .
Demak, ,
.
Ma`lumki, - cheksiz kichik miqdordir. Bundan esa va orasidagi ayirma cheksiz kichik miqdor bo`lganligi uchun

bo`ladi. U holda, va larni hisobga olsak,

ekanligi kelib chiqadi.
3-teorema. Limitga ega bo`lgan funktsiyalar ko`paytmasining limiti shu funktsiyalar limitlarining ko`paytmasiga teng:
.
Isbot: Teorema shartida asosan va funktsiyalar limitga ega, ya`ni va . Shuning uchun ham va deb yoza olamiz. Bu tengliklarni ko`paytiramiz:
.
Bundan . Tenglikning o`ng tomoni cheksiz kichik bo`lganligi uchun ularning limiti ga tengligi shubhasizdir. U holda, ayirma cheksiz kichik miqdor bo`lib, limiti nolga teng bo`ladi. Limitning ta`rifiga asosan esa
yoki .
Demak, teorema isbot bo`ldi.
3-teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi: