Режа: Текис узлуксизлик тушунчаси. Георг Кантор теоремаси. Текис узлуксизлик тушунчаси

18-маъруза. Функциянинг текис узлуксизлиги тушунчаси. Кантор теоремаси. Функция тебраниши.
Режа:
1. Текис узлуксизлик тушунчаси.
2. Георг Кантор теоремаси.
1. Текис узлуксизлик тушунчаси. Агар функция бирор оралиқда (ёпиқ ёки очиқ, чекли ёки чексиз) аниқланган ва шу оралиқдаги нуқтада узлуксиз бўлса, у ҳолда

ёки “ тилида”. (60- ): ҳар қандай учун шундай топиладики, дан

келиб чиқади.
Энди функция оралиқнинг ҳамма жойида узлуксиз, яъни бу оралиқнинг ҳар бир нуқтасида узлуксиз бўлсин дейлик. У вақтда даги ҳар бир нуқта учун алоҳида берилган бўйича юқорида айтилган маънода топилади. нуқта оралиқда ўзгарганда, ўзгармаса ҳам, сон, умуман айтганда ўзгаради. Агар 30-чизмага назар солсак, функциянинг секин ўзгарадиган бўлаги (графикда- эгри чизиқнинг қия кўтарилиб ёки пасайиб борган қисми) учун мос келган сон функциянинг тез ўзгарадиган бўлаги (эгри чизиқнинг тикка кўтарилиб ёки пасайиб борган қисми) учун анча катталик қилиши ҳам мумкинлигини кўрамиз. Бошқача айтганда, сон, умуман, фақат га эмас, балки га ҳам боғлиқдир.
Агар сўз нинг чекли сондаги қийматлари ҳақида борса эди ( ўзгармаган ҳолда), у вақтда мос келган чекли сондаги лардан энг кичигини танлаш мумкин бўлар эди ва бу энг кичик қиймат қаралаётган нуқталарнинг ҳаммаси учун бир вақтда яроқли бўлар эди.
Бироқ оралиқда жойлашган нинг чексиз кўп қийматларига нисбатан бундай муҳокама қилиш мумкин эмас: буларга ўзгармаган ҳолда (чексиз кўп сонлар мос келиб, улар орасида исталганча кичиклари ҳам топилиши мумкин. Шундай қилиб, оралиқда узлуксиз бўлган функцияга нисбатан қуйидаги савол туғилади: берилганда, бу оралиқдаги ҳамма нуқталар учун яроқли бўлган мавжудми, ё йўқми ?
Агар ҳар бир сон учун, шундай сон топилсаки, ва нуқталар қаралаётган оралиқнинг қаерида ётмасин, тенгсизликдан

эканлиги келиб чиқса, у ҳолда функция оралиқда текис узлуксиз функция дейилади.
Бу ҳолда сон фақат га боғлиқ бўлиб қолиб, нуқтани танлашга қадар бундай ни кўрсатиш мумкин: ҳамма нуқталар учун бир вақтда яроқли бўлади.
Текис узлуксизлик дегани функциянинг икки қиймати орасидаги берилган даражадаги яқинликка эришиш учун аргументнинг мос икки қиймати орасидаги яқинликни оралиқнинг ҳамма жойида бир ҳил қилиб олиш етарли демакдир. Оралиқнинг ҳамма нуқталарида функциянинг узлуксиз бўлишидан бу оралиқда унинг текис узлуксиз бўлиши зарурий равишда келиб чиқмаслигини мисолда кўрсатиш мумкин. Масалан, 0 билан орасида бўлган лар учун дейлик, 0 бундан мустаснодир. Бу ҳолда нинг ўзгариш соҳаси ёпиқмас оралиқ бўлиб, унинг ҳар бир нуқтасида функция узлуксиздир. Энди дейлик. бу ерда ихтиёрий натурал сон; у вақтда

демак, ўсиши билан ни ихтиёрий равишда кичрайтириш мумкин бўлишига қарамай,

Бу ерда бўлганда, функциянинг узлуксизлигига асосан, ҳар бир учун унга мос мавжуд бўлса ҳам, оралиқдаги ҳамма нуқталар учун ярайдиган ни топиш мумкин эмас.