Reja: Vaqt sohasida tahlil usullarini tanlash

Mavzu: Makrodarajada tahlil qilish usullari va algoritmlari
Reja:
1. Vaqt sohasida tahlil usullarini tanlash
2. Yashirin Eyler usuli formulasi orqaga qarab farqlashdan foydalanadi
3. SODE integratsiya formulalari

Vaqt sohasida tahlil usullarini tanlash Loyihalashtirilgan ob'ektlardagi jarayonlarni tahlil qilish vaqt va chastota sohalarida amalga oshirilishi mumkin. Vaqt sohasida tahlil qilish (dinamik tahlil) vaqtinchalik jarayonlarning rasmini olish, ob'ektning dinamik xususiyatlarini baholash imkonini beradi, bu chiziqli va chiziqli bo'lmagan tizimlarni o'rganishda muhim protsedura hisoblanadi. Chastota domenidagi tahlil aniqroqdir, qoida tariqasida, u tebranish statsionar jarayonlarini o'rganish, barqarorlikni tahlil qilish, signallarning spektral komponentlari bilan ifodalangan axborot buzilishlarini hisoblash va hokazolarda chiziqli MMga ega ob'ektlarga nisbatan qo'llaniladi.

SAPRda universal tahlil dasturlarida qo'llaniladigan vaqt sohasidagi tahlil usullari oddiy differentsial tenglamalar (SODE) tizimlarini integratsiyalashning raqamli usullari:
F(dV/dt, V, t) = 0.
Boshqacha qilib aytganda, bular differentsial tenglamalarni algebralash usullari. SODE integratsiya formulalari (3.15) da ko’rsatilganidek, MM ga komponent tenglamalaridan mustaqil ravishda kirishi yoki tugun usulida bajarilganidek, komponentlarning MM ga birlashtirilishi mumkin.SODElarni echish usulini tanlash aniqlik va hisoblash samaradorligi kabi tahlil xususiyatlariga sezilarli darajada ta'sir qiladi. Bu xususiyatlar, birinchi navbatda, tanlangan SODE integratsiya usulining turi va tartibi bilan belgilanadi.Ikki turdagi integratsiya usullari qo'llaniladi - aniq (aks holda ekstrapolyatsiya yoki to'g'ridan-to'g'ri integratsiya formulalariga asoslangan usullar) va yashirin (orqaga integratsiya formulalariga asoslangan interpolyatsiya). Ularning orasidagi farqlarni misol tariqasida eng oddiy birinchi tartibli usullar, Eyler usullari yordamida ko'rsatish qulay. Aniq Eyler usulining formulasi tn nuqtada hosilalarni o'zgartirish uchun quyidagi formuladir:
bu erda indeks integratsiya bosqichining soniga teng; hn=tn+1–tn - integratsiya bosqichining kattaligi (odatda hn oddiygina integratsiya bosqichi deb ataladi). Yashirin Eyler usuli formulasi orqaga qarab farqlashdan foydalanadi:
bunda hn=tn – tn-1.
Keling, model muammosi misolida aniq va yashirin usullarning qiyosiy tahlilini o'tkazamiz:
dV/dt = AV(3,23)
nolga teng bo'lmagan boshlang'ich sharoitlarda V0≠0 va Eyler usullaridan foydalanilganda doimiy qadam h. Bu yerda A doimiy matritsa; V - faza o'zgaruvchilari vektori.
Aniq usul bilan algebralash ostida, biz bor
(Vn+1-Vn)/h=AVn yoki Vn+1 = (E + hA) Vn
Bu erda E - identifikatsiya matritsasi. Vn+1 vektorini V0 dastlabki shartlar vektori bilan ifodalash mumkin:
Vn+1 = (E + hA)n V0 (3.24)
Belgilamoq
B \u003d E + hA (3,25) va B matritsasi uchun o'xshashlik konvertatsiyasini qo'llang
Bu erda T - konvertatsiya matritsasi, diagonalda B matritsasining xos qiymatlari bo'lgan -diagonal matritsa. Buni ko'rish oson Chiziqli algebradan ma'lumki, arifmetik amallar bilan bog'langan matritsalarning xos qiymatlari bir xil o'zgarishlar bilan bog'langan. Demak, (3.25) dan kelib chiqadi
lBj = 1 + hlAj
Model masalasining (3.23) aniq yechimi V(t)→ 0 t →∞ sifatida, demak, sonli yechish jarayonining barqarorlik shartini ko‘rib chiqish mumkin.
Vn+1→ 0 t →∞ sifati biz ketma-ket qaerdan olamiz
(E + hA)n V0→ 0,
V0 ≠ 0 dan beri, keyin (E + hA)n → 0, chunki T ≠ 0, → 0 va barqarorlik holati
Ma'lumki, jismoniy barqaror tizimlar uchun MMSdagi koeffitsientlar matritsasining xos qiymatlari manfiy bo'lib chiqadi. Agar, bundan tashqari, barcha , real kattaliklar bo'lsa ((3.23) modelli MMSdagi jarayonlarning tabiati aperiodik), u holda fizik tizimning vaqt konstantalarini quyidagicha belgilash tabiiydir.
bu erda 2tmin - minimal vaqt doimiysi. Agar yuqori tartibli aniq usullar qo'llanilsa, u holda da 2tmingacha bo'lgan koeffitsient ortishi mumkin, ammo bu aniq usullarni baholashni tubdan o'zgartirmaydi.Agar shart buzilgan bo'lsa, u holda hisob-kitoblarning barqarorligi yo'qoladi, ya'ni muammoni hal qilishda amplituda bosqichma-bosqich ortib borayotgan noto'g'ri tebranishlar paydo bo'ladi va kompyuterning to'lib-toshganligi sababli tezda favqulodda to'xtaydi. tushirish tarmog'i. Albatta, yechimning har qanday adekvatligi haqida gapirishning hojati yo'qga rioya qilish uchun avtomatik qadam tanlash uchun u yoki bu algoritm qo'llaniladi. E'tibor bering, murakkab modelda ga muvofiq qadamni to'g'ridan-to'g'ri tanlash uchun tmin ni hisoblash juda mashaqqatli, bundan tashqari, tmin ni bitta hisoblash ko'p yordam bermaydi, chunki chiziqli bo'lmagan modellarda tmin bosqichma-bosqich o'zgarishi mumkin. Shart integratsiya bosqichiga jiddiy cheklovlar qo'yadi. Natijada, MMCning shartliligi yomonlashgani sababli, aniq usullarning hisoblash samaradorligi keskin pasayadi. Haqiqatan ham, simulyatsiya qilingan jarayonning davomiyligi Tint qo'zg'atuvchi ta'sirdan keyin tizimning tinchlanish vaqti bilan mutanosib bo'lishi kerak, ya'ni. maksimal vaqt konstantasi tmax ga mutanosib.Integratsiya bosqichlarining kerakli soni tengW= Rang / h ~ tmax / tmin.H = tmax/tmin nisbati vaqt konstantalarining tarqalishi yoki shart raqami deb ataladi. Bu raqam qanchalik katta bo'lsa, konditsionerlik shunchalik yomon bo'ladi. Har qanday MMSga aniq usullarni qo'llashga urinishlar ko'pincha Agar (3.27) shart buzilgan bo'lsa, u holda hisob-kitoblarning barqarorligi yo'qoladi, ya'ni muammoni hal qilishda amplituda bosqichma-bosqich ortib borayotgan noto'g'ri tebranishlar paydo bo'ladi va kompyuterning to'lib-toshganligi sababli tezda favqulodda to'xtaydi. tushirish tarmog'i. Albatta, yechimning har qanday adekvatligi haqida gapirishning hojati yo'q.

(3.27) ga rioya qilish uchun avtomatik qadam tanlash uchun u yoki bu algoritm qo'llaniladi. E'tibor bering, murakkab modelda (3.27) ga muvofiq qadamni to'g'ridan-to'g'ri tanlash uchun tmin ni hisoblash juda mashaqqatli, bundan tashqari, tmin ni bitta hisoblash ko'p yordam bermaydi, chunki chiziqli bo'lmagan modellarda tmin bosqichma-bosqich o'zgarishi mumkin. .Shart (3.27) integratsiya bosqichiga jiddiy cheklovlar qo'yadi. Natijada, MMCning shartliligi yomonlashgani sababli, aniq usullarning hisoblash samaradorligi keskin pasayadi. Haqiqatan ham, simulyatsiya qilingan jarayonning davomiyligi Tint qo'zg'atuvchi ta'sirdan keyin tizimning tinchlanish vaqti bilan mutanosib bo'lishi kerak, ya'ni. maksimal vaqt konstantasi tmax ga mutanosib.Integratsiya bosqichlarining kerakli soni tengW= Rang / h ~ tmax / tmin.

H = tmax/tmin nisbati vaqt konstantalarining tarqalishi yoki shart raqami deb ataladi. Bu raqam qanchalik katta bo'lsa, konditsionerlik shunchalik yomon bo'ladi. Har qanday MMSga aniq usullarni qo'llashga urinishlar ko'pincha qabul qilib bo'lmaydigan darajada past hisoblash samaradorligiga olib keladi, chunki haqiqiy modellarda N > 105 odatiy holdir. Shu sababli, hozirgi vaqtda universal tahlil dasturlarida SODElarni echishning aniq usullari qo'llanilmaydi.Yashirin usullarning son barqarorligini xuddi shunday tahlil qilish quyidagi natijalarni beradi. (3.24) o'rniga bizda mavjud
Vn=(E - hA)-nV0
sonli barqarorlik sharti shakl oladiBu har qanday h > 0 uchun amal qiladi. Shuning uchun Eylerning yashirin usuli A-barqarorlik deb ataladigan narsaga ega.
Eslatma: SODE integratsiya usuli, agar h>0 har qanday bosqichda integratsiya xatosi chegaralangan holda qolsa, A-barqaror deb ataladi.A-barqaror usullardan foydalanish Sh ning kerakli sonini sezilarli darajada qisqartirish imkonini beradi.Bu usullarda qadam avtomatik ravishda barqarorlik shartlaridan emas, faqat eritmaning aniqligini hisobga olgan holda tanlanadi.SODE yechim usulining tartibini tanlash juda oddiy: birinchidan, yuqori tartib yuqori aniqlikni ta'minlaydi, ikkinchidan, yashirin farq usullari orasida Eyler usulidan tashqari, ikkinchi tartibli usullar ham A-barqaror va ular orasida trapezoid usuli bor. Shuning uchun tahlil dasturlarida ikkinchi tartibli usullar, trapezoidal usulning modifikatsiyalari ustunlik qildi.

Foydalanilga adabiyotlar

1. Современный математический анализ в задачах и упражнениях : пособие / Е. А. Баркова [и др.]. – Минск : БГУИР, 2020. – 112 с.

2. 
   Кулаков Г. Т. Анализ и синтез систем автоматического регулирования : учебное пособие [доп. МО РБ] / Г. Т. Кулаков. – Минск : Технопринт, 2003. – 135 с.
   
3. 
   Тихонов, В. И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем : учебное пособие / В. И. Тихонов, В. Н. Харисов. – 3-е изд., стер. – Москва : Горячая линия-Телеком, 2018. – 608 с.
   
4. 
   Козлов, А. Ю. Статистический