14-mavzu: Birinchi tartibli operator koeffitsientli differensial tenglamalar. Reja

14-MAVZU: Birinchi tartibli operator koeffitsientli differensial tenglamalar.
Reja:

1. 
   Masalaning nokorrektligi va uning turg‘unlik bahosi.
   
2. 
   Masalaning regulyarlashgan yechimini qurish.
   

Differensial operatorlarning koeffitsiyentlarini yoki qismini aniqlash.
operator quyidagicha aniqlangan bo‘lsin:
. (1)
operator koeffitsiyentlarini ikkita va to‘plam ostiga ajratamiz. , ikkita (1) ko‘rinishli operatorlarning dagi koeffitsiyentlari teng bo‘lsin. ning elementlari sonini deylik, ularni ko‘rinishda raqamlaymiz.
- o‘lchovli vektor funksiya quyidagi masala yechimi bo‘lsin:
, ,
, , (2)
, , ,
bunda dagi chegarasi ga tegishli soha bo‘lib, , . Bunda ham dagi koeffitsiyentlar ga bog‘liq emas.
Teorema 1. vazn funksiyani
(3)
ko‘rinishda aniqlaymiz. Agar
, , (4)
bo‘lsa, u holda faqat ga bog‘liq bo‘lgan shunday soni mavjudki,
, (5)
bo‘lganda biror son uchun
, (6)
tengsizlik ixtiyoriy funksiya uchun o‘rinli.
Teorema 2. (2) masalaning yechimi va ga tegishli bo‘lsin. Agar da
(7)
bo‘lsa va teorema 1 ning shartlari bajarilsa, hamda (2) masala uchun da bo‘lganda tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda da bo‘ladi.
Teorema 2 ning isboti. (2) masalaning yechimini ga quyidagicha davom ettiramiz: , (1) masaladagi Koshi shartlaridan va teoremaning shartlaridan davom ettirilgan va funksiyalar ga tegishli bo‘ladi.
bo‘lgan (2) tenglamadan bo‘lgan tenglamani ayirib, belgilash kiritisak, uchun da hosil bo‘ladi. Bunda , esa va operatorlarning noma’lum koeffitsiyentlari ayirmasiga teng.
(2) masalaning qolgan shartlaridan va teoremaning da shartlaridan
, , ,
, , ,
, ,
shartlarning bajarilishi kelib chiqadi.
Teorema 3. Agar
, , , (8)
bo‘lib,

Funksiyalar uchun teorema 1 shartlari bajarilsa, u holda , bo‘lsa, (1), (7) ning yechimi va funksiyalar uchun , ( ) tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
Teorema 3 dan hosil bo‘ladi. Bu teorema 2 ni isbotlaydi.
Yuqorida keltirilgan (2) masalada teorema 2 ning shartlarini qanoatlantiruvchi yechimini mavjudligi va yagonaligi giperbolik tenglamalar uchun aralash masalalarni yechish nazariyasida keltiriladi. Buning uchun va funksiyalar yetarlicha silliq bo‘lib, da kelishilganlik shartlarini, operator koeffitsiyentlari matritsasi musbat aniqlangan bo‘lishi kerak. Bitta noma’lum koeffitsiyenti uchun kelishilganlik sharti va silliqlik shartlari quyidagi teoremada keltirilgan:
Teorema 4. bo‘lib, soni shartni qanoatlantiruvchi biror sondan iborat va funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
, , agar
, , agar , (9)
, agar , (10)
bo‘lganda yuqoridagi shartlar bajarilsa.
Agar

masala yechimlari
, agar (11)
shartni qanoatlantirsa, u holda da bo‘ladi.