Reja Vektor haqida tushuncha. Vektorlar ustida chiziqli amallar. Vektorlarning chiziqli bog’liqligi

6- §. Vektorlarning skalar ko'paytmasi
1. Asosiy ta'riflar va xossalar. Ikkita va vektorning skalar ko'paytmasi deb, bu vektorlar uzunliklarining ular orasidagi burchak kosinusiga ko'paytmasiga aytiladi va u
(1)
ko'rinishda yoziladi.
Vektorning o'qqa proyeksiyasi formulalaridan foydalanib, (1) formulani
(2)
yoki
(3)
ko'rinishda ham yozish mumkin.
Demak, vektorlarning skalar ko'paytmasi natijasi skalar miqdordan iborat ekan.
Jismni o'zgarmas kuch yordamida ga ko'chirishda bajarilgan A mexanik ish shu tarzda aniqlanadi: .
Endi skalar ko'paytmaning xossalarini ko'rib o'tamiz:
1. O'rin almashtirish xossasi: Bu xossaning o'rinliligi, sonlar ko'paytmasining shunga o'xshash xossasi va kosinus funksiyasining juftligidan, ya'ni shartning bajarilishidan kelib chiqadi.
2. Songa ko'paytirishga nisbatan guruhlash xossasi: (4)
Bu xossani isbotlashda ikkita holni alohida qarab chiqish lozim. Biz, avvalo, т > 0 bo'lgan holni qaraymiz. Vektorni songa ko'paytirish qoidasi bo'yicha, || , || bo'ladi, shu sababli т > 0 bo'lganda o'zaro teng burchaklarni hosil qilarniz: belgilashni kiritamiz va (4) dagi skalar ko'paytmalarning har birini, ta'rif bo'yicha yozib chiqamiz: Bu ifodalarni taqqoslab, talab qilingan (4) tenglik o'rinli ekanligiga ishonch hosil qilamiz. т < 0 bo'lgan holda ham xossa shunga o'xshash isbotlanadi.
3. Taqsimot xossasi:
(5)
Bu xossa (2), (3) formulalardan foydalangan holda isbotlanadi:
4. Nol bo'lmagan o'zaro perpendikular va vektorlarning skalar ko'paytmasi nolga teng, ya'ni bo’lsa:
(6)
Xossaning isboti (1) formuladan kelib chiqadi.
5. = bo'lsin. Bunda vektorning о'ziga skalar ko'paytmasi uning skalar kvadrati deb ataladi:
(7)
chunki vektor o'zi bilan 0° li burchak tashkil etadi.
Oxirgi tenglikdan vektorning uzunligini hisoblash formulasini olamiz: (8)
ya'ni vektorning uzunligi vektorning skalar kvadratidan olingan kvadrat ildizga teng.
6. Ikkita, va vektor orasidagi burchak
(9)
formula orqali topiladi.