Reja Vektor haqida tushuncha. Vektorlar ustida chiziqli amallar. Vektorlarning chiziqli bog’liqligi

5- §. Vektorning to'g'ri burchakli koordinatalari
Tekislikda to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan bo'lsin. Ox abssissalar o'qida birlik vektorni, Oy ordinatalar o'qida esa, birlik vektorni kiritamiz. Unda, nuqta uchun bo'lgani kabi, har bir vektorga ikkita son — vektorning koordinatalarini mos qo'yish mumkin.
Ikki holni qarab o'tamiz.
1. Vektor = ko'rinishda bo'lsin, bunda O— koordina­talar boshi. Oxy to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasida A(x_l; y_l) nuqta berilgan bo'lsin. Koordinatalar boshi bo'lgan O nuqtani A nuqta bilan tutashtirib = vektorni yasaymiz va uning koordinatalarini topamiz. ΔAOB dan (12.14- chizma): = = + kabi yozish mumkin. vektorning boshi Ox o'qda yotganligidan, | |=|x_l|, | |=| y_l | bo'ladi.
Ox o'qda musbat yo'nalish birlik vektor orqali, Oy o'qda

12.14- chizma 12.15- chizma
esa birlik vektor orqali aniqlangan bo'lsin. va hamda va vektorlarning kollinearligidan foydalanib,
(2)
munosabatlarni yozish mumkin. (2) dagi qiymatlarni (1) ga keltirib qo'ysak,
= x₁ + y₁ (3)
ifodani hosil qilamiz.
Shunday qilib, boshlang'ich nuqtasi koordinatalar boshi bo'lgan vektorning koordinatalari uning oxiri, ya'ni A(x₁; y₁) nuqtaning koordinatalari bilan ustma-ust tushadi.
2. Vektor = ko'rinishda bo'lib, A(x₁ y₁) va B(x₂, y₂) nuqtalarning koordinatalari ma'lum bo'lsin (12.15- chizma).
Koordinatalar boshi bo'lgan 0 nuqtani A va В nuqtalar bilan tutashtiramiz. Vektorlar yordamida hosil qilingan ΔAOB = + (4)
da deb yozish mumkin, bundan
= + (5)
tenglikni hosil qilamiz. (5) ifodadagi va vektorlarning yoyilmalari, yuqoridagiga asosan, ma'lum:
= x₂ + y₂ , = x₁ + y₁ . (6)
vektorning koordinatalarini x va у deb belgilab, vektorning yoyilmasini
= x + y (7)
ko'rinishda yozish mumkin. Endi (6), (7) dagi qiymatlarni (5) ga keltirib qo'yamiz:
x · + y = (x₂-x₁) · + (y₂-y₁) · (8)
Teng vektorlar mos o'qlarda teng proyeksiyalarga ega bo'lganligidan
(9)
bo'lishi kelib chiqadi.
Shunday qilib, agar vektor uchlarining koordinatalari ma'lum bo'lsa, vektorning koordinatalari uning oxiri va boshi mos koordinatalarining ayirmasiga teng bo'lar ekan: (x₂ - x_l, y₂ - y_l).
Endi koordinatalari bilan berilgan vektorlar ustida bajariladigan amallar haqida to'xtalamiz.
Bizga va vektorlar berilgan bo' lib, ularning koordinatalari ma'lum, ya'ni (х₁;у₁) va bo'lsin. Ta'rifga ko'ra, vektorning koordinatalari uning mos o'qlarga proyeksiyalarining algebraik qiymatlaridan iborat.
Vektorlar yig'indisi va ayirmasining proyeksiyalari xossalaridan foydalanib, vektor koordinatalarining quyidagi xossalarini ifodalash mumkin.
1. Vektorlarni qo'shishda ularning mos koordinatalari qo'shiladi. (х₁;у₁) va (x₂;y₂) vektorlar berilgan bo'lsin. Unda ular yig'indisining a+b koordinatalari (x₁ + x₂, y₁ + y₂) ko'rinishda bo'ladi.
2.Vektorlarni ayirishda ularning mos koordinatalari quyida ko'rsatilgantartibdaayiriladi, ya'ni (х₁; у₁) va (x₂; y₂) vektorlar - ayirmasining koordinatalari (x₁ + x₂, y₁ + y₂) ko'rinishda bo'ladi.
3. Berilgan b (x₂ ; y₂ ) vektorni т songa ko 'paytirishda uning har bir koordinatasi shu т songa ko’paytiriladi, ya’ni ( mx₂ ; my₂ ) .
= , (x_l;y_l), (x₂;y₂) bo'lsin. U holda va vektorlarning mos koordinatalari o'zaro teng, ya'ni x₁=mx₂, y₁=my₂ bo'lishi shart. Bu munosabatlardan
(10)
bo'ladi. vektorni т songa ko'paytirganda vektorga kollinear vektor hosil bo'lgani uchun (10) tenglik ikkita va vektorning kollinearlik sharti deyiladi. Shunday qilib, agar va vektorlar kollinear bo'lsa, ularning mos koordinatalari proporsionaldir.