Решение 50 типовых задач по программированию на языке Pascal Дата размещения сборника в сети

Задача № 50. Вычислить экспоненту с заданной точностью 
Формулировка. Дано действительное число x. Вычислить значение экспоненциальной функ-
ции (то есть, показательной функции e
x
, 
где e – математическая константа, 
2, 718281828459045
e
≈
) 
в точке x с заданной точностью eps с помощью ряда Тейлора: 
2
3
0
1
1!
2!
3!
!
n
x
n
x
x
x
x
e
n
∞
=
= + +
+
+
=
∑


---

Данил Душистов: «Решение 50 типовых задач по программированию на языке Pascal» 
66 
Примечание 1: показательными называются функции вида a
x
, где a – некоторое действитель-
ное число, x – независимая переменная, являющаяся показателем степени. 
Примечание 2: ряд Тейлора – это представление функции в виде суммы (возможно, бесконеч-
ной) некоторых других функций по особым правилам (требующим детального математического 
обоснования, что в данном случае нам не нужно). 
Решение. Не вникая в теоретическую часть и полагая представленную формулу корректной, 
попробуем разобраться в том, что же нам необходимо сделать для того, чтобы решить эту задачу: 
1) 
Нам дана некоторая точка на оси Ox, и мы должны вычислить значение функции e
x
в этой 
точке. Допустим, если x = 4, то значение функции в этой точке будет равно 
4
4
2, 71828
54, 598
e
≈
≈
; 
2) 
При этом вычисление необходимо реализовать с помощью заданной бесконечной формулы, 
в которой прибавление каждого очередного слагаемого увеличивает точность результата; 
3) 
Точность должна составить вещественное число eps, меньшее 1 – это означает, что когда 
очередное прибавляемое к сумме слагаемое будет меньше eps, то необходимо завершить 
вычисление и выдать результат на экран. Это условие обязательно выполнится, так как ма-
тематически доказано, что каждое следующее слагаемое в ряде Тейлора меньше предыду-
щего, следовательно, бесконечная последовательность слагаемых – это бесконечно убыва-
ющая последовательность. 
Теперь разберемся с вычислением самого ряда. Очевидно, что любое его слагаемое, начиная 
со 2-го, можно получить из предыдущего, умножив его на x и разделив на натуральное число, явля-
ющееся номером текущего шага при последовательном вычислении (примем во внимание то, что 
тогда шаги нужно нумеровать с нуля). Значение x нам известно на любом шаге, а вот номер теку-
щего шага (будем хранить его в переменной n) придется фиксировать. 
Создадим вещественную переменную expf (от англ. exponential function – экспоненциальная 
функция) для накопления суммы слагаемых. Будем считать нулевой шаг уже выполненным, так как 
первое слагаемое в ряду – константа 1, и в связи с этим expf можно заранее проинициализировать 
числом 1: 
expf := 1; 
Так как мы начинаем вычисления не с нулевого, а с первого шага, то также нужно инициали-
зировать значения n (числом 1, так как следующий шаг будет первым) и p (в ней будет храниться 
значение последнего вычисленного слагаемого): 
n := 1; 
p := 1; 
Теперь можно приступить к разработке цикла. С учетом заданной точности eps условием его 
продолжения будет abs(p) >= eps, где abs(p) – модуль числа p (модуль нужен для того, чтобы не 
возникло ошибки, если введено отрицательное x). 
В цикле необходимо домножить p на x и доделить его на текущий номер шага n, чтобы обес-
печить реализацию факториала в знаменателе, после чего прибавить новое слагаемое p к результату