Решение а Выделим полный квадрат в знаменателе дроби подынтегрального выражения и сделаем замену

Рациональная функция от е^х
Интеграл вида рационализируется подстановкой
, откуда .
Пример. Найти интеграл . Применяя подстановку , откуда , получим

Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Рассмотрим методы интегрирования тригонометрических функций, решая конкретные примеры
Рациональная функция от sinx и cosx
Рассмотрим интеграл вида
,
где R - рациональная функция. Этот интеграл рационализируется универсальной подстановкой
, .
Действительно,
, , ,
Эту подстановку подставим в и получаем
,
где - другая рациональная функция аргумента t.
Пример. .
Решение. Подставляя сюда формулы, после очевидных упрощений получаем

Тригонометрические подстановки используются также для интегрирования некоторых иррациональных функций.
1) Если подынтегральная функция содержит радикал , то обычно используют подстановку x=asint (x=acost); отсюда
(или ).
2) Если подынтегральное выражение содержит радикал , то используют подстановку , тогда .
3) Если подынтегральное выражение содержит радикал , то используют подстановку , тогда .
Заметим, что использование тригонометрических подстановок не всегда оказывается рациональным.
Пример. Найти интегралы, применяя тригонометрические подстановки:
а) ; б) ; в) ; г) ;
Решение.
а) используем подстановку х=3sint (t=arcsin x/3), тогда и .
Находим


б) Преобразуем подкоренное выражение подынтегральной функции, выделив полный квадрат:
,
затем воспользуемся подстановкой , откуда
и .
Итак,



(см. табличные интегралы 19 и 2).
Возвращаясь к переменной х, выразим функцию тогда

.
Окончательно,

в) Воспользуемся заменой (подстановкой) тогда .
Находим интеграл:




Возвращаясь к переменной х, выразим функцию: тогда

.
Окончательно,

г) Используя подстановку , будем иметь: