Решение а Выделим полный квадрат в знаменателе дроби подынтегрального выражения и сделаем замену

Пример. , т и п – натуральные числа.
Решение. Универсальная подстановка приведёт здесь к громоздким выкладкам; гораздо удобнее применить метод замены переменной. В зависимости от чётности т и п употребимы три следующих варианта.

1. 
   т – чётное, п – нечётное; подстановка
   
2. 
   т – нечётное, п – чётное; подстановка
   
3. 
   т и п – оба нечётные; любая из двух подстановок 1 или 2.
   
4. 
   т и п –оба чётные; понизить степени тригонометрических функций
   

Пример. Найдите интеграл .
Решение.
Выполним подстановку ; тогда , ; отсюда имеем

Пример. Найти интегралы
а) ; б) ; в) ; г) ;
Решение.
а) Для нахождения интеграла воспользуемся тригонометрическим тождеством и применим формулы таблицы интегралов:

б) Для нахождения интеграла воспользуемся заменой: , а также формулой т.е. . Учитывая вышеизложенное, получаем



Заметим, что в данном примере замена определялась тригонометрической функцией, имеющей четную степень в подынтегральном выражении.
в) В данном примере полагаем , тогда .
Следовательно,


г) Заметим, что использование замены приводит к табличному интегрированию. Действительно,
и .
Тогда


Интегралы от иррациональных функций
Рассмотрим случаи, в которых замена переменной позволяет интегралы от иррациональных функций свести к интегралам от рациональных функций.
I. Интегралы виды вычисляются с помощью замены: , , .
II. Интегралы от дробно-линейных функций, т.е. интегралы виды , где вычисляются с помощью подстановки .
III. Интегралы вида . Могут быть найдены с помощью обратной подстановки .
IV. Интегралы вида в простейших случаях сводятся к табличным, необходимая замена переменной определяется после выделения полного квадрата в квадратном трехчлене .