Решение дифференциальных уравнений и систем уравнений с операционным исчислением

2. Решение дифференциальных уравнений и систем методом операционного исчисления.

Операционное исчисление — один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и пользуется большой популярностью у инженеров. Метод был предложен известным американским электротехником и физиком О. Хевисайдом (1892 г.). Он предложил формальные правила обращения с оператором d dx и некоторыми функциями от этого оператора, используя которые решил ряд важнейших задач электродинамики. Однако операционное исчисление не получило в трудах О. Хевисайда математического обоснования («его математика возникала в физическом контексте, из которого ее нелегко было выделить», многие его результаты оставались недоказанными. Лишь в 20-е годы XX века метод получил обоснование в работах Бромвича (T. J. I’A. Bromwich) и Карсона (J. R. Carson).
При решении дифференциальных уравнений и систем используется теорема о дифференцировании оригинала и ее следствие – теорема об изображении n-ой производной.
Метод решения основан на том, что преобразование Лапласа сводит дифференцирование в пространстве оригиналов к умножению на p в пространстве изображений. Поэтому дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами в пространстве оригиналов переходит в алгебраическое уравнение в пространстве изображений. При этом учитываются и начальные условия, что удобно при решении задачи Коши.
Получив решение алгебраического уравнения в пространстве изображений, мы получаем решение в виде некоторого изображения – функции от p. Остается найти соответствующий ему оригинал по свойствам преобразования Лапласа (теоремам подобия, смещения, запаздывания, дифференцирования и интегрирования) или теоремам разложения.
Пусть задано дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами  относительно неизвестной функции и ее производных с правой частью – функцией , являющейся оригиналом
(1)
Требуется решить задачу Коши для этого уравнения при начальных условиях
(2)
Применим преобразование Лапласа к обеим частям равенства.

(3)
Приведем коэффициенты при  в левой части и перенесем члены, зависящие от начальных условий, в правую часть.
(4),
где  - характеристический многочлен,
(5)
Найдем изображение решения
(6)
Здесь первое слагаемое дает вклад правой части в решение, второе слагаемое – вклад начальных условий. Если начальные условия нулевые, то  и второе слагаемое пропадает.

Примеры.

1. 
   
   

, 
Первые два слагаемых соответствуют  , оригинал для третьего слагаемого находим по теореме об интегрировании оригинала: .
.

2. 
   
   

по теореме о дифференцировании изображения.

3. 
   
   

4. 
   
   

.
Если свертку вычислить трудно, то можно найти оригинал  для последнего слагаемого по теореме разложения.
= .